Аксиомы теории вероятностей

При аксиоматическом подходе к изложению теории вероятностей за основу берется некоторое множество W, элементы w которого называются элементарными событиями, а само W - пространством элементарных событий.

Зафиксируем некоторую непустую систему S, состоящую из подмножества А, В, … пространства элементарных событий. Подмножества А, В,… назовем событиями.

Относительно структуры системы S предположим выполненными следующие две аксиомы событий:

I. Если множества А₁, А₂, … (в конечном или счетном числе) являются событиями, то их объединение А₁ È А₂ È… тоже является событием.

II. Если множество А является событием, то его дополнение W \ А до множества W тоже является событием.

Система S, удовлетворяющая аксиомам I и II, называется борелевским полем событий.

Из аксиом I и II вытекает, что W Î S, Æ Î S и если A_i Î S (i = 1, 2, …),

то А₁ Ç А₂ Ç.. Î S.

В дальнейшем операцию объединения событий будем называть сложением и обозначать знаком «+», операцию пересечения – умножением и обозначать знаком «-», а операцию дополнения – переходом к противоположному событию и выделять чертой сверху (например, ). Кроме того, событие W назовем достоверным и обозначим U, Æ - невозможным и обозначим V.

В новых обозначениях аксиомы I и II запишутся:

I. А₁, А₂,… Î S Þ А₁ + А₂ + … Î S.

II. А Î S Þ .

События А и В назовем несовместными, если АВ = V (т.е. АÇВ = Æ).

Аксиомы вероятностей:

1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число р(А), называемое вероятностью события А.

2. Если события А₁, А₂, … попарно несовместны, то р(А₁ + А₂ + …) = р(А₁) + р(А₂) + … (аксиома счетной аддитивности)

3. p(U) = 1.

Совокупность трех объектов < W, S, p(A) >, в которой S удовлетворяет аксиомам I и II, а функция р(А) – аксиомам 1, 2, 3, назовем вероятностной схемой.

 

Правило произведения. Пусть элемент х₁ строки (х₁, х₂, …, х_k) можно выбрать n₁ способами; после каждого выбора х₁ элемент х₂ можно выбрать n₂ способами; после выборов х₁ и х₂ элемент х₃ можно выбрать n₃ способами и т.д.; после выборов х₁, х₂, …, х_k-1 элемент х_k можно выбрать n_k способами. Тогда строку (х₁, х₂, …, х_k) можно образовать n₁ × n₂ × … × n_k способами.

Пример 1. Сколькими способами можно выбрать четырехзначное число, все цифры которого различны?

Решение. Каждому четырехзначному числу можно поставить во взаимно однозначное соответствие строку (х₁, х₂, х₃, х₄), где х₁, х₂, х₃, х₄ – соответственно 1, 2, 3 и 4-я цифры. Элемент х₁ этой строки можно выбрать 9 способами (любую из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); элемент х₂ можно выбрать также 9 способами (теперь можно использовать и цифру 0, но первую выбранную цифру повторить нельзя); элемент х₃ можно выбрать 8 способами (уже выбранные первые две цифры повторить нельзя); наконец, элемент х₄ можно выбрать 7 способами. Согласно правилу произведения искомое число способов выбора четырехзначного числа с различными цифрами равно: 9 × 9 × 8 × 7 = 4536.

Размещения с повторениями. Пусть Х – множество, состоящее из n элементов (n-членное множество). Тогда любая строка длиной k, составленная из элементов множества Х, называется размещением с повторениями из n элементов по k.

Число всех размещений с повторениями из n элементов по k равно n^k.

Пример 2. Сколькими способами можно выбрать четырехзначное число, в десятичной записи которого нет нуля?

Решение. Четырехзначные числа указанного вида можно рассматривать как строки длиной 4, составленные из элементов множества Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, т.е. как размещения с повторениями из 9 элементов по 4. Следовательно, искомое число способов равно: 9⁴ = 6561.

Размещения без повторений. Перестановки. Пусть Х по-прежнему n -членное множество. Тогда любая строка длиной k, составленная из различных элементов множества Х, называется размещением без повторений из n элементов по k. Число всех таких размещений обозначается и равно:

.

В случае, когда k = n, размещения без повторений называются перестановками из n элементов. Число всех перестановок из n элементов обозначается P_n и равно:

P_n = = n!.

Пример 3. 10 спортсменов разыгрывают одну золотую, одну серебряную и одну бронзовую медали. Сколькими способами эти медали могут быть распределены между спортсменами?

Решение. Предположим, что спортсмены пронумерованы числами от 1 до 10 и х₁, х₂, х₃ – номера спортсменов, получивших золотую, серебряную и бронзовую медали. Каждому такому распределению медалей соответствует строка (х₁, х₂, х₃), состоящая из различных чисел (номеров спортсменов). Обратно каждой строке (х₁, х₂, х₃) соответствует способ распределения медалей. Следовательно, число способов распределения медалей равно числу размещений без повторений из 10 элементов по 3, т.е.

Сочетания и бином Ньютона. Всякое k -членное подмножество n-членного множества называется сочетанием из n элементов по k.

Число различных сочетаний из n элементов по k обозначается . Справедлива формула

.

Числа , , ,…, , являются коэффициентами в разложении бинома Ньютона:

(a + b) ⁿ = a⁰ bⁿ + a b^n-1 + … + aⁿ b⁰.

Пример 4. Сколькими способами из 10 спортсменов можно отобрать команду из 6 человек?

Решение. Очевидно, команда из 6 человек является 6-членным подмножеством 10-членного множества, т.е. сочетанием из 10 элементов по 6. Следовательно, искомое число способов равно

Размещения данного состава. Полиномиальная формула. Размещением данного состава (k₁, k₂,…, k_m) из элементов m -членного множества Х = { x₁, x₂,…, x_m } называется всякая строка длинной k₁ + k₂ + … + k_m = n, составленная из элементов множества Х, так, что элемент х₁ повторяется k₁ раз, элемент x₂ – k₂ раз и т.д., элемент x_m – k_m раз. Например, если Х= { x₁, x₂,x₃ }, то (x₁, x₂, x₂, х₁, х₁) есть размещение состава (3,2,0).

Количество различных размещений заданного состава (k₁, k₂,…, k_m) обозначается А(k₁, k₂,…, k_m) и равно:

.

Следующая формула, обобщающая формулу бинома Ньютона, называется полиномиальной:

,

где суммирование проводится по всевозможным наборам целых неотрицательных чисел k₁, k₂,…, k_m, для которых k₁ + k₂ + … + k_m = n.

Пример 5. Сколькими способами можно поставить на книжной полке 3 экземпляра учебника по алгебре, 2 экземпляра учебника по геометрии и один экземпляр учебника по математическому анализу?

Решение. Очевидно, всякой расстановке указанных учебников взаимно однозначно соответствует строка длиной 3 + 2 + 1 = 6 состава (3, 2,1). Следовательно, искомое число способов равно числу размещений состава (3, 2, 1).т.е.

Пример 6. Вычислите (1 + х + х²)³.

Решение. По полиномиальной формуле имеем:

,

где суммирование производится по всем наборам неотрицательных целых чисел k₁, k₂, k₃, для которых k₁ + k₂ + k₃ = 3. Выпишем все такие наборы: (0,0,3), (0,3,0), (3,0,0), (0,1,2), (1,2,0), (2,0,1), (1,0,2), (0,2,1), (2,1,0), (1,1,1). Теперь находим:

2.

Пусть А – случайное событие по отношению к некоторому испытанию. Представим себе, что это испытание произведено N раз и при этом событие А наступило в N_A случаях. Тогда отношение

называется частотой события А в данной серии испытаний.

Определение. Вероятностью случайного события А называется число р(А), около которого колеблется частота этого события в длинных сериях испытаний.

 

Пример 1. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Частота рождения мальчика в такой серии наблюдений равна 0,515.

Пример 2. Французский естествоиспытатель Бюффон (XVIII в.) бросил монету 4040 раз, и при этом герб выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

Пример 3. Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету 24000 раз, причем герб выпал 12012 раз. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

Примеры 2 и 3 подтверждают естественное предположение о том, что вероятность выпадения герба при одном бросании монеты равна 0,5.