Студопедия — Классический способ подсчета вероятностей
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Классический способ подсчета вероятностей






Пусть W - конечное пространство элементарных событий А1, А2, …, Аn. В качестве борелевского поля событий рассмотрим систему S всех подмножеств множества W.

Ясно, что при этом аксиомы I и II выполняются. При классическом способе подсчета вероятностей все элементарные события считаются равновероятными. И так как р(А1 + А2 +… + Аn) = р(U) = 1, то р(А1) = р(А2) = … = р(Аn) = .

Если теперь А – произвольное событие и А = Ai1 + …+ Aim, то согласно аксиоме 2 имеем р(А) = .

События А1, А2, …, Аn принято называть элементарными исходами данного испытания, а те элементарные исходы, которые в сумме составляют событие А, называются благоприятными случаями для А. Количество благоприятных случаев для события А обозначим m(A). Таким образом, р(А) = , т.е. вероятность события А равна отношению числа благоприятных случаев для А к общему числу элементарных исходов испытания.

Пример 1. В урне 10 шаров, из которых 3 белых и 7 черных. Какова вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется белым?

Решение. Пусть событие А – извлеченный шар оказывается белым. Данное испытание имеет 10 равновероятных исходов, из которых для события А благоприятны три. Следовательно, р(А) = .

Пример 2. Все натуральные числа от 1 до 20 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны наудачу взята одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5 – событие А; кратным 3 – событие В; простым – событие С; составным – событие D; не простым и не составным – событие Е?

Решение. Испытание имеет 20 равновероятных исходов. Из них m(A) = 4; m(B) = 6; m(C) = 8; m(D) = 11; m(E) = 1.

Соответственно событиям получим следующие вероятности:

p(A) = 0,2; p(B) = 0,3; p(C) = 0,4; p(D) = 0,55; p(E) = 0,05.

 

Пусть событие А может наступить только с одним из n попарно несовместных событий Н1, Н2, …, Нn, которые по отношению к А называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

.

Если стало известно, что событие А произошло, то вероятность р (Hi)(i = 1,2,…,n)можно переоценить, т.е. найти условные вероятности p (Hi / A).

Эта задача решается по формуле Байеса:

, (12)

где р (А) вычисляется по формуле полной вероятности.

Пример. В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар.

а) Какова вероятность того, что этот шар белый?

б) Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 белых шара?

Решение. а) Введем обозначения: А – шар, извлеченный из второй урны, белый; гипотезы Н1 – из первой урны во вторую переложены 2 белых шара, Н2 – переложены 2 разноцветных шара, Н3 – переложены 2 черных шара. Тогда

р(Н) = р(Нi) p(A/Hi) + p(H2) p(A/H2) + p(H3) p (A/H3).

Вероятности гипотез Нi и условие вероятности p(A/ Нi) (i = 1, 2, 3) вычисляем по классической схеме:

, , ;

, , .

Полученные результаты подставим в формулу (1):

.

б) Вероятность р(Н1/А) находим по формуле Байеса:

.

 







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 927. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления....

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

Гальванического элемента При контакте двух любых фаз на границе их раздела возникает двойной электрический слой (ДЭС), состоящий из равных по величине, но противоположных по знаку электрических зарядов...

Сущность, виды и функции маркетинга персонала Перснал-маркетинг является новым понятием. В мировой практике маркетинга и управления персоналом он выделился в отдельное направление лишь в начале 90-х гг.XX века...

Разработка товарной и ценовой стратегии фирмы на российском рынке хлебопродуктов В начале 1994 г. английская фирма МОНО совместно с бельгийской ПЮРАТОС приняла решение о начале совместного проекта на российском рынке. Эти фирмы ведут деятельность в сопредельных сферах производства хлебопродуктов. МОНО – крупнейший в Великобритании...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия