Тема: Статистическая оценка параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Точечные оценки.

Пусть Q - неизвестный параметр (математическое ожидание, дисперсия и т.д.) изучаемой случайной величины х и

х₁, х₂,…,х_n (1)

выборка, полученная в результате n независимых опытов. Члены выборки x_i являются случайными величинами в том смысле, что если выполнить новую серию n опытов, то, вообще говоря, получится другие числа: х₁^', х₂^',…,х_n^'. Однако, каждая случайная величина x_i имеет такой же закон распределения, что и исходная величина х.

Оценкой параметра Q - по данной выборке (1) называется число (х₁, х₂,…,х_n), зависящее от х₁, х₂,…,х_n и приближенно равноеQ, т.е. .

По отношению к Q назовем выборочным параметром величины х. Выборочный параметр также является случайной величиной, так как он будет меняться от одной серии опытов к другой.

Если M [ ] = , то называется несмещенной оценкой параметра Q.

Если D [ ] = 0, то называется состоятельной оценкой .

Если m - неизвестное математическое ожидание случайной величины х, то в качестве оценки m применяется выборочное среднее , равное

. (2)

Выборочное среднее является несмещенной и состоятельной оценкой m.

В качестве оценки неизвестной дисперсии D случайной величины х применяется выборочная дисперсия

. (3)

Выборочная дисперсия является состоятельной, но смещенной оценкой дисперсии D. Несмещенной и состоятельной оценкой D является исправленная выборочная дисперсия

. (4)

При малом объеме выборки (n £ 30) пользуются исправленной выборочной дисперсией ; при больших n (n > 30) практически безразлично, какой из двух оценок ( или ) пользоваться.

Для выборочной дисперсии справедлива формула

. (5)

Если для х составлена таблица частот

 

a1	a2	…	a m
m1	m2	…	mm

то , и можно вычислить по формулам

, (6)

 

, (7)

. (8)

Если изучаемая случайная величина непрерывная с интервальной таблицей частот:

 

c1-c2	c2-c3	…	cm-cm+1
		…

 

то для применения формул (6), (7) и (8) в качестве a _i обычно берут середину интервала [ c_i, c_i+1 [.