Тема: Элементы корреляционно-регрессионного анализа. Дисперсионный анализ. Метод наименьших квадратов.

При изучении связи между случайными величинами х и у важную роль играет коэффициент корреляции r [ x, y ], определяемый формулой

.

Учитывая, что k[x, y] = M[x y] – M[x] M[y] (см. § 18), можно записать:

, (1)

Свойства коэффициента корреляции:

1. Если х и у независимы, то r [ x, y ] = 0.

2. Для любых х и у имеет место неравенство ½ r [ x, y ] ½ £ 1.

3. ½ r [ x, y ] ½ = 1 тогда и только тогда, когда между х и у имеется линейная зависимость у = ах + b; причем r [ x, y ] = 1, если a > 0 и r [ x, y ] = -1, если a < 0 (и наоборот).

 

Система случайных величин (х, у) задана таблицей распределения:

у х	-1
	0,10	0,15	0,20
	0,15	0,25	0,15

Найдите коэффициент корреляции между х и у.

Решение. Воспользуемся формулой (1):

.

В данном случае

M[xy] = 0 × (-1) × 0,10 + 0 × 0 × 0,15 + 0 ×1 × 0,20 + 1 × (-1) × 0,15 + 1 × 0 × 0,25 + + 1 × 1 × 0,15 = 0.

Для нахождения M[x], M[y], s [x] и s [x] составим законы распределения величин х и у в отдельности:

		- закон распределения х;
0,45	0,55

 

-1			- закон распределения у;
0,25	0,40	0,35

 

Отсюда

M[x] = 0 × 0,45 + 1× 0,55 = 0,55;

M[y] = (-1) × 0,25 + 0 × 0,040 + 1 × 0,25 = 0,1;

D[x] = M[x²] – M[x]² = 0,55 – 0,55² = 0,2475;

s [x] = » 0,497;

D[y] = M[y²] – M[y]² = 0,6 – 0,1² = 0,59;

s [y] = » 0,768;

.

Пример 2. Известно, что M[x] = 5; M[y] = 0,2; D[x] = 4; D[y] = 2,25; r [x,y] = -0,5. Найдите M[xy].

Решение. Из формулы (1) находим:

M[xy] = M[x] M[y] + s[x] s[y] r[x,y] = 5 × 0,2 × × (-0,5) = -1,5.

 

Пусть коэффициент корреляции между величинами х и у неизвестен, но мы располагаем n точками:

(х₁, у₁), (х₂ у₂),..., (x_n y_n), (2)

полученными в результате n независимых опытов над системой (х, у). Тогда в качестве приближенного значения неизвестного r[ x,y ] берется выборочный коэффициент корреляции:

.

Пример 3. В результате 10 независимых опытов над системой (х,у) получены точки: (2,1; 3,0), (2,1; 2,8), (2,0; 3,0), (2,5; 2,0), (2,8; 1,8), (2,2; 2,5), (3,2; 1,5), (3,2; 1,1), (3,2; 1,0), (4,7; 1,3). Найдите выборочный коэффициент корреляции.

Решение. Для удобства вычислений составляем расчетную таблицу:

 

№ опыта	xk	yk	xk yk
	2,1	3,0	6,30	4,41	9,00
	2,1	2,8	5,88	4,41	7,84
	2,0	3,0	6,0	4,00	9,00
	2,5	2,0	5,0	6,25	4,00
	2,8	1,8	5,04	7,84	3,24
	2,2	2,5	5,50	4,84	6,25
	3,2	1,5	4,80	10,24	2,25
	3,2	1,1	3,52	10,24	1,21
	3,2	1,0	3,20	10,24	1,00
	4,7	1,3	6,11	22,09	1,69
Сумма			51б35	84,56	45,48

 

Далее находим:

; ; ;

; ;

; ;

.

Так как модуль коэффициента корреляции близок к 1, то зависимость между х и у можно считать близкой к линейной, причем корреляция отрицательная (с возрастанием х величина у в среднем убывает).

Пусть зависимость у от х близка к линейной и имеется выборка (2). Требуется найти прямую у = ах + b, которая наилучшим образом выражает зависимость у от х. Эта задача решается методом наименьших квадратов (см. [6], § 46). Искомое уравнение имеет вид:

. (3)

Уравнение (3) называется выборочным уравнением регрессии у на х. Аналогично определяется выборочное уравнение регрессии х на у:

.