Лекция №13

Тема:Элементы выборочного метода. Генеральная совокупность и выборка. Гистограмма и полигон. Числовые характеристики вариационного ряда: среднее значение, дисперсия, мода, медиана, начальные и центральные моменты, ассиметрия и эксцесс.

План:

1. Элементы математической статистики

2 Генеральная совокупность

3 Гистограмма, полигон.

4 Выборочные характеристики выборки.

Основные понятия: генеральная совокупность, гистограмма, полигон, выборочные характеристики выборки.

 

Совокупность всех возможных значений случайной величины х в математической статистике называют генеральной совокупностью.

Совокупность n возможных значений х:

х₁,х₂,…,x_n, (1)

полученных в результате n независимых опытов (наблюдений), называется выборкой или статистическим рядом объема n.

Различные значения случайной величины, содержащиеся в выборке (1), называются вариантами. Система вариант

a₁,a₂,…,a_m, (2)

расположенных в возрастающем порядке, называются вариационным рядом.

Пусть х – дискретная случайная величина и (2) ее вариационный ряд, полученный по выборке (1). Тогда число (i = 1,2,…, m), где k_i – количество повторений варианты a_i в выборке объема n, называется частотой этой варианты в данной выборке.

Таблица

a1	a2	…	a m
m1	m2	…	mm

 

в первой строке которой расположены варианты, а во второй – соответствующие им частоты, называется таблицей частот или эмпирическим законом распределения дискретной случайной величины х. Сумма всех частот в таблице (3) равна единице.

Если на плоскости в прямоугольной системе координат построим точки (a _i, m_i) (i = 1, 2,…, m) и соединим их последовательно отрезками прямых, то получим ломаную линию, которая называется полигоном частот (см.рис. 21)

 

Полигон частот дает приближенное наглядное представление о характере распре-деления случайной величины х.

Если изучаемая случайная величина х непрерывна, то вместо обычного (дискретного) вариационного ряда составляют интервальный вариационный ряд: находят минимальную и максимальную варианты выборки и весь промежуток между ними разбивают на частичные промежутки. Получается так называемый интервальный вариационный ряд:

[ c₁; c₂ [, [ c₂; c₃ [, …, [ c_m; c_m+1 ]. (4)

Далее по выборке определяют частоту (i = 1,2,…,m) попадания значений х в i- й интервал. Здесь - количество членов выборки, попавших в i -й интервал. Если при этом некоторое x_k выборки совпадает с граничной точкой между промежутками, то его относят к правому промежутку. В результате получается интервальная таблица частот:

 

[ c1;c2 [	[ c2; c3 [	…	[ cm; cm+1 ]
		…

 

Интервальная таблица частот графически изображается гистограммой, которая представляет собой ступенчатую линию (см.рис.22). Основанием i -й ступеньки является i -й частичный интервал, а высота h_i такова, что площадь ступеньки равна . По построению суммарная площадь всех ступенек гистограммы равна 1.

Пример 1. При изучении некоторой дискретной случайной величины в результате 40 независимых наблюдений получена выборка:

10, 13, 10, 9, 9, 12, 12, 6, 7, 9;

8, 9,11, 9, 14, 13, 9, 8, 8, 7;

10, 10, 11, 11, 11, 12, 8, 7, 9, 10;

14, 13, 8, 8, 9, 10, 11, 11, 12, 12.

Требуется: а) составить вариационный ряд; б) составить таблицу частот; в) построить полигон.

Решение. а) Выбирая различные варианты из выборки и располагая их в возрастающем порядке, получим вариационный ряд:

6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14.

б) Для нахождения частот предварительно подсчитаем для каждой варианты соответствующие кратности k _i :

k _i = 1, 3, 6, 8, 6, 6, 5, 3, 2.

Таблица частот

a1
m1

 

в) Полигон изображен на рисунке 23.

 

 

Пример 2. Для изучения распределения веса новорожденных были собраны данные для 100 детей и составлена интервальная таблица частот. Для удобства таблица составлена в столбик:

 

 

Интервалы веса (кг)	Частота
1,0 – 1,5	0,01
1,5 – 2,0	0,02
2,0 – 2,5	0,05
2,5 – 3,0	0,15
3,0 – 3,5	0,35
3,5 – 4,0	0,28
4,0 - 4,5	0,12
4,5 – 5,0	0,02