Тема: Система случайных величин. Функция случайных величин. Понятие многомерной случайной величины. Функция распределения двумерной случайной величины.

Определение случайной величины общего вида основывается на понятии борелевского множества.

Множество точек на числовой оси R называется борелевским, если оно может быть получено из множества вида { x/x < а }применением конечного или счетного числа операций объединения, пересечения и дополнения.

Определение. Говорят, что задана случайная величина х (случайная величина общего вида), если каждому борелевскому множеству А на числовой оси R поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А) так, что выполняются следующие условия:

1. P (R) = 1.

2. Если борелевские множества А₁, А₂, … попарно не пересекаются, то

р (А₁ + А₂ +…) = р(А₁) + р(А₂) + …

(условие счетной аддитивности).

Функция F(x), определенная для любого х Î R равенством

F(x) = p( x < x), (1)

называется функцией распределения случайной величины х.

Если функция распределения F(x) задана, то вероятность события x₁£ x < x₂ вычисляется по формуле

р(x₁£ x < x₂) = F(x₂) - F(x₁). (2)

Любой способ задания случайной величины называется законом распределения этой величины.

На практике для задания случайных величин общего вида обычно используется функция распределения.

Вероятность того, что случайная величина х примет определенное значение х₀, выражается через функцию распределения по формуле

р (х = х₀) = F(x₀ +0) – F(x₀). (3)

В частности, если в точке х = х₀ функция F(x) непрерывна, то

р (х = х₀) =0.

Случайная величина х с распределением р(А) называется дискретной, если на числовой прямой существует конечное или счетное множество W, такое, что р (W,) = 1.

Пусть W = { x₁, x₂,…} и p_i = p ({ x_i }) = p (x = x_i), i = 1,2,….Тогда для любого борелевского множества А вероятность р(А) определяется однозначно формулой

. (4)

Положив в этой формуле А = {x_i / x_i < x}, x Î R, получим формулу для функции распределения F(x) дискретной случайной величины х:

F(x) = p (x < x) = . (5)

График функции F(x) представляет собой ступенчатую линию. Скачки функции F(x) в точках х = х₁, х₂ …(x₁<x₂<…) равны соответствующим вероятностям р₁, p₂, ….

Пример 1. Найдите функцию распределения

дискретной случайной величины х из примера 1§ 13.

Используя функцию распределения, вычислите

вероятности событий: х < 3, 1 £ x < 4, 1 £ x £ 3.

F(x)

0 х1 х2 х3 х4 х

Решение. Используя данные из таблицы,

полученной в § 13, и формулу (5), получим

функцию распределения:

 

По формуле (1) Р(x < 3) = F(3) = 0,1808; по формуле (2)

р(1 £ x < 4) = F (4) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888;

p (1 £ x £ 3) = p (1 £ x <3) + p(x = 3) = F(3) – F(1) + F(3+0) – F(3) =

= F(3+0) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888.

Пример 2. Дана функция

Является ли функция F(x) функцией распределения некоторой случайной величины? В случае положительного ответа найдите . Построить график функции F(x).

Решение. Для того чтобы наперед заданная функция F(x) являлась функцией распределения некоторой случайной величины х, необходимо и достаточно выполнение следующих условий (характеристических свойств функции распределения):

1. F(x) – неубывающая функция.

2. , .

3. При любом х Î R F(x – 0) = F(x).

Для заданной функции F(x) выполнение

этих условий очевидно. Значит,

F(x) – функция распределения.

Вероятность вычисляем по

формуле (2):

.

График функции F(x) представлен на рисунке 13.

Пример 3. Пусть F₁(x) и F₂(x) – функции распределения случайных величин х ₁ и х ₂ соответственно, а ₁ и а ₂ – неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Доказать, что F(x) = a ₁F₁(x) + a ₂F₂(x) является функцией распределения некоторой случайной величины х.

Решение. 1) Так как F₁(x) и F₂(x) – неубывающие функции и а ₁ ³ 0, а ₂ ³ 0, то a ₁F₁(x) и a ₂F₂(x) - неубывающие, следовательно, их сумма F(x) тоже неубывающая.

2) ;

.

3) При любом х Î R F(x - 0) = a ₁F₁(x - 0) + a ₂F₂(x - 0)= a ₁F₁(x) + a ₂F₂(x) = F(x).

Пример 4. Дана функция

Является ли F(x) функцией распределения случайной величины?

Решение. Легко заметить, что F(1) = 0,2 > 0,11 = F(1,1). Следовательно, F(x) не является неубывающей, а значит, не является функцией распределения случайной величины. Заметим, что остальные два свойства для данной функции справедливы.

Говорят, что задана система (х, у) двух случайных величин, если каждому борелевскому множеству А на координатной плоскости R² поставлено в соответствие неотрицательное число р(А) так, что выполняются следующие два условия:

1. р (R²) = 1.

2. Если борелевские множества А ₁, А ₂ … попарно не пересекаются, то

р (А₁+ А₂ +…) = р (А₁) + р (А₂) + …

Функция р (А) называется распределением системы (х, у)

Функция F (x, y), определенная на R² равенством

F (х, у) = p( x < x, y < y),

называется функцией распределения системы (х, у).

Система (х, у) называется системой дискретного типа, если существует конечное или счетное множество W Ì R ² такое, что р (W) = 1. В этом случае р (А) = S р (х = x_i, у = y_i), где суммирование производится по всем точкам (x_i, y_i), принадлежащим А Ç W.

Система (х, у) называется распределенной с плотностью f(x,y), если для любых х,у Î R

.

Плотность f(x,y) обладает свойствами:

.

Для любой области А Ì R² имеет место формула

. (1)

Случайные величины х и у называются независимыми, если р(А´В) = р_х(А) р_у(В) для любых борелевских множеств А и В на прямой; р(), р_х(), р_у() обозначают соответственно распределения системы (х, у),величины х и величины у.

Для систем дискретного типа условие независимости х и у можно записать в виде

р (x = x_i, y = y_i) = p (x = x_i) p (y = y_i)

для любых x_i, и y_i.

Для системы имеющей плотность f(x,y), условием независимости х и у служит равенство

f (x,y) = f₁ (x) f₂ (y),

где f₁ (x) – плотность х, а f₂ (y) – плотность у.