Лекция №5

Тема: Числовые последовательности и ее предел.

План:

1. Числовые последовательности и ее предел. Единственность предела последовательности.

2. Ограниченность сходящейся последовательности.

3. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

5. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Ключевые слова: Последовательность, предел, бесконечно большая, бесконечно малая.

Функция, областью определения которой являетсяч множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число то говорят, что задана числовая последовательность .

:

Числа называются членами последовательности, а число - общим членом последовательности.

Число называется пределом числовой последовательности , если если для любого малого числа найдется такой номер (зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами верно равенство .Предел

числовой последовательности обозначается .

Последовательность имеющая предел называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Если существуют число и номер такие, что при любом , то последовательность называется финально постоянной.

Последовательность называется ограниченной, если существует число такое, что при любом .

Теорема. 1. Финально постоянная последовательность сходится.

2. Любая окрестность предела последовательности содержит все члены последовательности, за исключением конечного их числа.

3. Последовательность не может иметь двух различных пределов.

4. Сходящаяся последовательность ограничена.

Если , - две числовые последовательности, то их суммой, произведением и частным называются соответственно последовательности

, ,

Теорема. Пусть , - числовые последовательности. Если , , то

1.

2.

3. , если

1. Пусть , - числовые последовательности, причем , . Если , то начиная с некоторого номера имеет место неравенство

2. Пусть , и - числовые последовательности и имеет место неравенство . Тогда, если , , то. .

3. Пусть , . Если начиная с некоторого номера

А) , то

В) , то

С) , то

D) , то

Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то говорят что на множестве задана функция. При этом называется независимой переменной или аргументом, а - зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.

Множество называется областью определения или существования функции, а множество – областью значений функции.

Существуют следующие способы задания функции

1. Аналитический способ, если функция задана формулой вида
2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции
3. Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции
4. Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления.

Основные свойства функции

1.Четность и нечетность. Функция называется четной, если для всех значений из области определения и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.

2.Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого пролмежутка соответствует большее (меньшее)значение функции.

3.Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого . В противном случае функция называется неограниченной.

4.Периодичность. Функция называется периодической с периодрм , если для любых из области определения функции .

Классификация функций.

1.Обратная функция. Пусть есть функция от независимой переменной , определенной на множестве с областью значений . Поставим в соответствие каждому единственное значение , при котором . Тогда полученная функция , определенная на множестве с областью значений называется обратной.

2.Сложная функция. Пусть функция есть функция от переменной ,

определенной на множестве с областью значений , а переменная в свою

очередь является функцией.

Число называется пределом функции при , если для любого малого числа найдется такое положительное число , что для всех таких,что верно неравенство .

Предел функции в точке. Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Число называется пределом функции при , если для любого, даже сколь угодно малого , найдется такое положительное число (зависящий от ), что для всех и удовлетворяющих условию выполняется неравенство . Этот предел обозначается .

Функция называется бесконечно малой величиной при , если ее предел равен нулю.

Свойства бесконечно малых величин

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Первый замечательный предел

и второй замечательный предел

где

помогают при вычислении многих пределов.

Также при вычислении пределов бывает полезным знание следующих пределов