Индуктивное определение det A. Миноры и алгебраические дополнения.

1) Det A - число, сопостовимое матрице A_mxn, и характеризующие некоторые свойства данной матрицы.

2) M_ij - минор элемента a_ij - определитель n-1 порядка, полученный

путем вычеркивания строки и столбца, пересекающих элемент a_ij.

3) A_ij - Алгебраическое дополнение a_ij: A_ij=(-1)^i+j*M_ij;

Теорема о разложении определителя по элементам строки, столбца:

å - сумма всех элементов одной из строк или одного из столбцов.

detA=å(a_ij*A_ij), где A_ij=(-1)^i+j*M_ij, где M – минор, а A – алгебраическое дополнение.

Свойства определителей:

1) det A^T = det A. Это означает равномерность строк и столбцов.

2) Если в определителе поменять местами 2 строки(столбца), то он поменяет знак.

3) Если в определителе имеются 2 одинаковые(пропорциональные) строки (столбца), то он равен 0.

4) Если элементы какой-либо строки (столбца) умножить на z, то определитель

умножится на z.

5) Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то он сам равен нулю.

6) Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответственно элементы

другой строки (столбца), умноженные на z¹0, то определитель не изменится.

7) Сумма произведений элементов любой строки(столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения этой строки(столбца) равна этому определителю.

8) Сумма произведений какой-либо строки(столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки(столбца) равна нулю.

Элементарные преобразования матриц:

1) Обмен местами двух строк (столбцов).

2) Элементы строки (столбца) умножить на z¹0.

3) К элементам одной строки(столбца) прибавить элементы другой,

умноженные на z¹0.

Лемма: При помощи элементарных преобразований только над строками(столбцами)

можно привести любую квадратную матрицу к теугольному виду.

Методы вычисления определителей:

n=1: detA=|A|

n>1: detA=å(a_ij*A_ij), где A_ij=(-1)^i+j*M_ij, где M – минор, а A – алгебраическое дополнение.

Так же можно воспользоваться правило Сарриуса для матрицы порядка 3x3.

Теорема о определителе произведения матриц:

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей Доказательство: приведем матрицы к верхне треугольному виду, их детерминант стал равен произведению диаганальных элементов,теперь перемножим их, получили верхне диаганальную матрицу в которй элементы по диаганали равны произведению элементов стоящих на тех-же местах, т.е.(a₁₁*a₂₂*…*a_nn)*(b₁₁*b₂₂*…*b_nn)=(a₁₁*b₁₁)*(a₂₂*b₂₂)*… (a_nn*b_nn)

Следствие об определителе блочно-диагональной матрицы:

Определитель блочно-диаганальной матрицы равен произведению определителей блоков. (По диаганали стоят не нулевые матрицы)

Обратная матрица:

Матрица X – обратная матрице A, если AX=XA=E (единичная). A^-1=||a_ij||^T/detA, где a_ij-алгебраическое дополнение;

Если detA=0, то A^-1 не существует: [det A*A^-1=detE=1]=[(detA=0)*detA^-1=0]. Получается, 1=0 => противоречие, что и требовалось доказать.

Теорема о существовании и единственности обратной матрицы:

Теорема: Квадратная матрица nxn, с определителем, не равным нулю, имеет обратную матрицу, и притом только одну(A^-1=||a_ij||^T/detA).

Доказательство. Существование: AA⁺ = detA (detA¹0, A_nxn); (A⁺)/detA=A^-1; AA^-1 =AA⁺/detA=E*detA/detA=E ч.т.д.

 

Единственность: B и C обратные к A, AB=E, CAB=CE,EB=CE,EB=EC,B=C; ч.т.д.

Свойства обратной матрицы:1) (A^-1)^-1=A; 2) (AB)^-1=A^-1B^-1; 3) (A^T)^-1=(A^-1)^T; 4) E=E^-1;

Матричные уравнения AX=B, YA=B:

Матричные уравнения: выглядят в общем виде следующим образом: AX=B, YA=B. Решения следующими методами:

Для AX=B:

AX=B ó (A^-1*A)X=A^-1*B ó т.к. (A^-1*A)=E, то X=A^-1*B.

Пример: AX+3X=CX+B ó AX+3X-CX=B ó (A+3E-C)X=B; (A+3E-C)=D, тогда X=D^-1*B;

Алгоритмы нахождения обратной матрицы:

I: 1) Вычислить det A. Если он равен нулю, то A^-1 не существует;

2) Составляем матрицу D состоящую из алгебраических дополнений матрицы A;

3) Транспонируем матрицу D и получает D^T;

4) A^-1=D^T/detA

II: 1) Запишем расширенную (A|E).

2) Элементарными преобразованиями над строками приведем эту расширенную матрицу к виду (E|B) (т.е. (A|E)~(E|B)). Тогда B и будет обратной матрице A.

 

Лекция №2

Тема: Основные понятия и определения теории систем уравнений

План

1. Основные понятия и определения теории систем уравнений;

2. система n линейных уравнений с n неизвестными;

3. метод обратной матрицы;

4. метод Крамера;

5. метод Гаусса

Ключевые слова: система n линейных уравнений с n неизвестными; метод обратной матрицы; метод Крамера; метод Гаусса.

 

Метод Гаусса: Элементарными преобразованиями приводим матрицу к ступенчатому виду. Количество ненулевых строк и будет рангом матрицы.

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Матричная запись системы:

Система линейных уравнений выглядит следующим образом:

A₁₁x₁+¼+a_1nx_n=b₁

A_m1x₁+¼a_mna_n=b_n

M – количество уравнений в системе. N – количество неизвестных. b – свободные члены. Решение системы – совокупность a1…an, при подстановке которых вместо x каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство. Система совместна, если она имеет хотя бы 1 решение, иначе несовместна. Если все свободные члены равны 0, то однородная.

Правило Крамера:

Первое ленейное уравнение: a₁₁x₁+…+a_1nx_n=b₁;

составить матрицу, выражающую ленейные уравнения. Если det A ¹0 (A-матрица системы), то система имеет решение.

для нахождения очередного x надо заменить столбец с таким же номеров как у x на столбец b. Тогда x=detD/detA, где D – получившаяся после замены матрица.

Теорема Кронекера-Капелли:

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда rg A = rg (A|B). (Следствие: если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то она имеет единственное решение, иначе бесконечно много).

Однородная система уравнений:

Система называется однородной, если все свободные члены равны нулю.

Если A_mxnX=0_mx1, то

а) Если RgA=n, то x=0;

б)Если RgA<n, то множество решений. C₁L₁+C₂L₂… - ФСР – ленейно независимые части решения.

Теорема: Для того, что бы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, что бы ранг r ее основной матрицы был меньше n (числа x-ов).

Неоднородная система уравнений:

Если A_mxnX=b_mx1(B¹0), то

а) Если система несовмесна, то x=Æ;

б) Если RgA=n, то x=0;

в) Если RgA<n, то множество решений. L₀+C₁L₁+C₂L₂… - ФСР – ленейно независимые части решения.

Фундаментальное решение(ФСР):

Частное решение:

x=-1+2c,

y= 1+c,

z= c,cÎR;