Частота, частость и вероятность

Каждый знает из личного опыта, что одни события происходят сравнительно часто, а другие – редко. Например, в Санкт-Петербурге часто идет дождь, а вот 30-градусная жара бывает редко. Гриппом мы болеем часто, а психическими заболеваниями сравнительно редко. Слова “часто”, “редко” наряду с другими отображают в языке ожидаемую степень возможности появления случайных событий в окружающей нас действительности. Но возникает вопрос об объективной мере возможности появления случайных событий. В качестве такой меры могут использоваться частота, частость и вероятность события.

Частота f_i – число, показывающее, сколько раз встречается в выборке каждая варианта x_i, так, что по определению сумма всех частот равна объему выборки, т.е. сумма f_i = N, где N – общий объем выборки.

При наблюдении какого-то интересующего нас события в серии экспериментов это событие может произойти, но может и не произойти. Конечно, с увеличением числа наблюдений частота наступления события будет как-то меняться. Приведенные примеры характеризуют ситуацию, когда наблюдаемое событие (например, рождение мальчика в солнечный день в Кисловодске) может произойти, но может и не произойти. Для данного события характерна статистическая устойчивость – частота его наступления мала, не систематически меняется и, вообще говоря, колеблется тем меньше, чем больше количество наблюдений, по которым эта частота подсчитывается.

Например, из десяти задач ученик правильно решил восемь. Это и есть частота правильного решения задачи учеником. Легко увидеть, что частота зависит от количества испытаний. Тот же ученик из пяти задач мог решить, например, четыре, а из 20 – 16. Ясно, что при большом количестве наблюдений одно и то же случайное событие будет встречаться чаще. Частота может служить в качестве сравнительной оценки возможности появления случайных событий лишь при условии одинакового числа испытаний. Если же это условие не выполняется, то нужна другая мера. Такой мерой возможности появления случайных событий служит частость.

Частость – относительная частота, т.е. частота, деленная на количество испытаний. Частость – это доля каждой частоты f_i в общем объеме выборки N. Частость в гораздо меньшей степени зависит от количества испытаний, чем частота. Так, если ученик из пяти задач правильно решил четыре, из десяти – восемь, а из 20 только 16, то частость во всех трех случаях будет одинакова: 4/5. Тем не менее и частость не является наилучшей мерой возможности появления случайного события. Покажем это на примере.

Пример 2.1. В ряде случаев важно знать, какова возможность спонтанного воспроизведения памятью человека хорошо известных ему образов. Например, как часто среди произвольно называемых или записываемых арабских цифр появляется определенная цифра? Был организован несложный эксперимент, в котором испытуемому предлагалось записывать цифры от 0 до 9 в любом порядке, кроме прямого и обратного, и таким путем заполнить цифрами стандартный лист писчей бумаги. Рассмотрим частость на примере записи цифры 7 одним из испытуемых.

Всего испытуемый записал более 1300 цифр, относительно которых частость записи цифры 7 составляет 0,108. Вычислим значения этой частости для каждых 50 цифр, записанных испытуемым: для первых пятидесяти, для вторых пятидесяти, для третьих пятидесяти и т.д. Определим частости цифры 7 за каждые 10, 50, 200, 400, 600 и 650 цифр, записанных испытуемым. На рис. 1 можно видеть, что рассеивание значений частости цифры 7 не остается постоянным, а быстро уменьшается при увеличении количества исходов, на основе которого вычислялись частости.

Таким образом, частость события тоже зависит от количества испытаний.

Рис. 1. Уменьшение величины рассеивания значений частости цифры 7 в
зависимости от количества исходов: по оси ординат – величина рассеивания,
по оси абсцисс – количество исходов

Но чем больше испытаний проведено, тем больше мы можем быть уверены в том, что значение частости отображает объективную возможность появления интересующего нас события, а не обусловлено количеством испытаний. Полностью, однако, избавиться от влияния числа испытаний, пользуясь частостью, нельзя. Необходима другая мера. Такой мерой объективной возможности появления события является вероятность.

Как видно из примера, при увеличении количества испытаний значения частот изменяются все меньше и меньше, приближаясь к некоторому постоянному значению. Постоянное значение, к которому, как к своему пределу, стремится частость при неограниченном увеличении количества испытаний, и называют вероятностью.

На практике, очевидно, невозможно увеличивать количество испытаний до бесконечности. Поэтому непосредственно из опыта определить значение вероятности событий нельзя. В отдель-ных случаях, при определенных условиях, можно априори найти значение вероятности. Это так называемое классическое определение вероятности. Примерами такого определения являются вероятности выпадения “орла” или “решки” при бросании монеты правильной формы, равные 1/2 каждая, или вероятности выпадения любой из сторон игральной кости (кубика), имеющей правильную форму, соответственно равные 1/6 (по числу сторон). В большинстве практических приложений все же приходится пользоваться частостями как оценками вероятностей, определяя-емыми в длинных сериях испытаний.

И частость, и вероятность численно могут принимать любое значение между нулем и единицей. Действительно, если f = n, то Р = 1, и событие, о котором идет речь, является достоверным. Если же f = 0, то Р = 0, и событие является невозможным. Теоретически частость и вероятность сколь угодно мало могут отличаться от нуля или единицы, но практически результаты округляются. Например, Р = 0,999 округляется до Р = 1, а Р = 0,001 – до Р = 0. Поэтому, как указывалось выше, “граница” между случайными и неслучайными событиями весьма условна. Очень частые случайные события на практике могут быть приняты за достоверные, а очень редкие – за невозможные события. Таким образом, вероятность как мера возможности появления события характеризует количественно и случайные, и неслучайные события. Согласно терминологии, рекомендованной к использованию в научной литературе Комитетом научно-технической терминологии, вероятность – это “положительное число, не превышающее единицу, представляющее собой количественную меру возможности появления случайного события в повторяющихся от опыта к опыту основных условиях. Она определяет среднюю частость, с которой можно ожидать появления случайного события в длинных сериях независимых испытаний”.