Эксцесс

В качестве меры выпуклости используется эксцесс. Эксцесс Е – это количественная мера “горбатости” симметричного распределения, т.е. некоторой выпуклости или пологости верхней части кривой распределения. Коэффициент эксцесса (Ех) определяется как

За начало отсчета выпуклости распределений принято значение коэффициента эксцесса для нормального закона распределения, для которого Ех = 0.

Для асимметричных кривых характерен сдвиг частот от средних значений вправо (положительная асимметрия) или влево (отрицательная асимметрия).

Для эксцессивных кривых характерно чрезмерное накапливание (положительный эксцесс) или, наоборот, снижение (отрицательный эксцесс) частот в центральных классах вариационного ряда.

При строго симметричных распределениях коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.

Величина асимметрии и эксцесса используется также в качестве одного из тестов для проверки соответствия эмпирического распределения нормальному.

Размах

Среди мер рассеивания наибольший интерес представляют размах распределения и различные отклонения от мер положения.

Размах измеряет на числовой шкале расстояние, в пределах которого изменяются оценки. Поскольку существуют несколько иные определения размаха, то надо разграничить два его типа: включающий и исключающий. Исключающий размах – это разность максимального и минималь-ного значений в группе. Его также называют вариационным размахом показателя.

Вариационный размах показателя – это количественная мера, характеризующая разность между максимальным и минимальным значением признака. Например, исключающий размах значений 0, 2, 3, 5, 8 равен 8 – 0 = 8. Значения: -0,2; 0,4; 0,8; 1,6 имеют исключающий размах, равный 1,6 – (–0,2) = 1,8.

Включающий размах – это разность между естественной верхней границей интервала, содержащего максимальное значение, и естественной нижней границей интервала, включающего минимальное значение. Например, рост пяти мальчиков измеряется с точностью до ближайшего сантиметра. Получены следующие значения: 150, 155, 157, 165, 168 см. Фактический рост самого низкого мальчика находится где-то между 149,5 и 150 см и действительная нижняя граница равна 149,5 см. Верхняя граница интервала, содержа­щего максимальное значение, составляет 168,5 см. Таким образом, включающий размах равен разности 168,5 – 149,5 = 19, которая на единицу больше, чем 168 – 150.

В дальнейшем, если мы будем ссылаться на размах без указания, включающий он или исключающий, то выводы будут одинаково применимы для обоих. Поскольку размах опреде-ляется только двумя значениями в группе, он не учитывает распределения всех значений, помимо максимального и минимального. Например, если 100 значений равномерно распределены от 1 до 10, то включающий размах равен 10,5 – 0,5 = 10. Но если одно значение приходится на 1, одно – на 10, а остальные 98 расположены на уровне 5, то включающий размах все еще равен 10.
В разных случаях эти два типа неоднородности имеют различный смысл; но их нельзя различить, пользуясь только размахом. Размах является довольно грубой, но общераспространенной мерой изменчивости.

Размах распределения – это область наблюдавшихся значений случайной величины

d = Xmax– Хmin.

Для дискретных случайных величин размах является единственно допустимой мерой рассеивания. Но для непрерывных случайных величин он лишь приближенно характеризует рассеивание. Например, кривые могут иметь одинаковый размах, но разное рассеивание.