Биноминальное распределение (распределение Бернулли)
Одним из наиболее значительных событий в ранней истории теории вероятностей было издание в 1713 г. книги швейцарского математика Я. Бернулли (1654-1705). Распределение Бернулли – это математическая модель таких ситуаций, как стрельба по мишени, выбраковка изделий, подсчет односторонних выпадений монеты или граней игральной кости при их идеальном подбрасывании. Распределение Бернулли – это распределение,в котором случайная величина определена на выборочном пространстве, состоящем всего лишь из двух исходов, или иначе, биноминальное распределение – это распределение суммы n независимых случайных величин, каждая из которых имеет распределение Бернулли с параметром p. Здесь все испытания независимы, вероятности всех событий равны и в сумме составляют единицу. Тогда вероятность осуществления m раз некоторого события A в серии испытаний n (где n – общее число всех событий) равна Pn(m). Она описывается как последовательные члены разложения бинома n (q+p) m, где p – вероятность наступления одиночного события A (например, это 1/2 для выпадания “орла” при подбрасывании идеальной монеты), q – вероятность события, противоположного событию A, или вероятность неосуществления события: q = 1 – p. Так что итоговая формула биноминального закона распределения имеет вид
где
Биноминальное распределение полностью описывается (математически определено) двумя параметрами (показателями): n и p, так как его среднее значение M = np, а мера разброса значений (среднее квадратическое отклонение). Форма биноминального распределения существенно зависит от величин n и p, приближаясь в общем случае к симметричному распределению (см. рис. 4, б).
|
– число сочетаний из n по m, т.е.
