Обратная матрица

Определение 11. Квадратная матрица (т = п) называет­ся вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной в противном случае.

Определение 12. Если А - невырожденная матрица, то существует, и притом единственная, матрица такая, что

,

где Е - единичная матрица того же размера, что и матри­цы А и А^-1.

Матрица А^-1 называется обратной к матрице А.

Определение 13. Назовем матрицу А^T транспонированной, если она является транспонированной матрицей, состав­ленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А.

Если матрица А — невырожденная, то

Пример 2. Вычислить матрицу 2А+ 5В, если

Решение.

 

Ответ

Пример 3. Даны матрицы Найти матрицы АВ и ВА.

Ответ:

Замечание. Очевидно, АВ≠ ВА, т.е. произведение матриц не перестановочно.

Пример 4. Доказать, что матрица

является обратной для матрицы

Решение.

 

Ответ: матрица А^-1 является обратной матрице А.

Пример 5. Найти транспонируемую матрицу для матрицы

Решение.

Присоединенная матрица является транспонированной матрицей из алгебраических дополнений данной матрицы.

 

-

Для данной матрицы

 

Итак, транспонируемая матрица А^Т равна

Пример 6. Найти матрицу А^-1, обратную к матрице А примера 5.

Решение. Так как , то найдем

Тема 1.2 Системы линейных уравнений

Решить систему линейных неоднородных алгебраических уравнений.