Пример 1. Исследовать функцию на непрерывность.

Исследовать функцию на непрерывность.

 

Решение.

Данная функция не определена в точках x = −1 и x = 1.

Следовательно, функция имеет разрывы в точках x = ±1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках.

 

 

Поскольку левосторонний предел при x = −1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.

 

 

 

 

Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода.

 

Пример 2

Найти точки разрыва функции

 

 

Вычислим односторонние пределы при x = 0.

 

 

Первый замечательный предел.

 

 

Примеры.

 

 

Второй замечательный предел.

 

 

Примеры.

 

 

 

Функция α (x) называется бесконечно малой при x®a, если

 

Предположим, что α (x) и β (x) - бесконечно малые функции при x®a.

Если

 

то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией β (x);

Если, то говорят, что функции α (x) и β (x)

 

являются бесконечно малыми одинакового порядка малости;

 

Если,то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой порядка n относительно функции β (x);

Если,то говорят, что бесконечно малые функции α (x) и β (x) эквивалентны при x®a

 

 

Таблица эквивалентных функций

 

 

Доказать, что функции и при являются бесконечно малыми одного порядка малости.

 

Решение. данные функции – бесконечно малые одного порядка малости.