Теорема: Если вторая производная функции в данном промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна – выпукла в этом промежутке.

 

Пример. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба кривой

Решение:

 

 

		-1
	-		+

 

Точка перегиба

 

 

Задача. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решение:

Точка ее из рассмотрения исключаем.

3. Вычислим значения функции в точках 0, 5, 6:

y(0)=225, y(5)=50, y(6)=63.

Ответ:

Метод поиска наибольших и наименьших значений функции применим к решению разнообразных прикладных задач.

Задача. Число 15 представить в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение квадрата первого из них на второе было наибольшим.

Решение: Пусть первое число х, тогда второе – (15-х).

Составим функцию

Произведение квадрата первого числа на второе будет наибольшим, если одно из чисел 10, а другое будет 5

.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

 

1. D(y)=

2.E(y)=

3. - функция нечетная, график симметричен относительно начала координат, непериодичная

4.

5. - вертикальные асимптоты

Найдем наклонные асимптоты.

 

- уравнение наклонной асимптоты.

 

6.

 

Критические точки:

 

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

 

-¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает

 

 

7.

.

 

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

 

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая

< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

 

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 /2 и -3 /2.