Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнение вида y''+ρy'+qy=f(x), где ρ и q – вещественные числа, f(x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида: y''+ρy'+qy=0, (1) у которого правая часть f(x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.
Уравнение к2+ρк+q=0 (2) называется характеристическим уравнением уравнения (1). Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через к1 и к2. Общее решение уравнения (1) может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D=ρ2–4q уравнения (2) следующим образом:
И общее решение
Пример Найти общее уравнение y''–y'–2y=0. Решение: Характеристическое уравнение имеет вид
Пример Найти общее решение уравнения y''–2y'+y=0. Решение: Характеристическое уравнение имеет вид
Пример Найти общее решение уравнения y''–4y'+13y=0. Решение: Характеристическое уравнение имеет вид
Задания к экзаменам
|
1. При D>0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (к1≠к2), и общее решение имеет вид
2. При D=0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (к1=к2=к), и общее решение имеет вид:
