Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

 

Уравнение вида y''+ρy'+qy=f(x),

где ρ и q – вещественные числа,

f(x) – непрерывная функция,

называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида:

y''+ρy'+qy=0, (1)

у которого правая часть f(x) равна нулю.

Такое уравнение называется однородным.

 

Уравнение к²+ρк+q=0 (2)

называется характеристическим уравнением уравнения (1).

Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через к₁ и к₂.

Общее решение уравнения (1) может быть записано в зависимости от величины дискриминанта

D=ρ²–4q уравнения (2) следующим образом:

1. При D>0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (к₁≠к₂), и общее решение имеет вид

 

2. При D=0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (к₁=к₂=к), и общее решение имеет вид:

 

1. Если D<0, то корни характеристического уравнения комплексные:

 

И общее решение

Пример

Найти общее уравнение y''–y'–2y=0.

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид

Пример

Найти общее решение уравнения

y''–2y'+y=0.

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид

Пример

Найти общее решение уравнения

y''–4y'+13y=0.

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид

Задания к экзаменам