Радикальный признак Коши.

 

Если для ряда существует предел то при ряд сходится, при ряд расходится, при вопрос о сходимости остается открытым.

 

Пример. С помощью радикального признака Коши исследовать сходимость рядов:

Решение: данный ряд сходится.

 

Решение: ряд расходится.

 

 

Интегральный признак Коши.

Пусть непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, определенная при Тогда ряд сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится несобственный интеграл

Пример.

Решение.

Общий член ряда

значит данный ряд расходится.

 

 

Решение.

данный ряд сходится.

 

Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

(1) где положительные числа.

 

Признак Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов). Если члены ряда (1) начиная с некоторого монотонно убывают по абсолютной величине и , то ряд (1) сходится.

Пример. Исследовать ряд на сходимость по признаку Лейбница:

Решение. Так как члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: и общий член при стремится к нулю: то в силу признака Лейбница ряд сходится.

 

Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда.

 

Ряд (1) называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.