Непрерывность функции в точке.
Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Тот же факт можно записать иначе:
Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).
Пример: Исследовать на непрерывность функцию
Классификация точек разрыва функции Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
и правосторонний предел
При этом возможно следующие два случая: Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:
Такая точка называется точкой устранимого разрыва. Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:
Такая точка называется точкой конечного разрыва Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
|
Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в этой точке существуют левосторонний предел
