Відстань від точки до прямої

Розглянемо т. і пряму . Візьмемо довільну точку прямої – (рис.3.12). Тоді, площа паралелограма :

Рисунок 3.12 (3.15)

Приклад 1. Знайти відстань від т. до прямої .

Розв’язання.

Знайдемо координати вектора , де : . Напрямний вектор прямої , . Тоді векторний добуток векторів і дорівнює:

Підставивши дані в (3.15), отримаємо:

Відповідь: .

 

 

Криві другого порядку

Означення 1. Криві, загальне рівняння яких має вигляд , (3.16)

де , називаються кривими другого порядку.

Коло

Означення 2. Крива другого порядку (3.16) є колом (рис.3.13) тоді і тільки тоді, коли:

1) коефіцієнти при квадратах змінних координат рівні між собою ;

2) відсутній член, що містить добуток змінних координат , тобто

, (3.17)

де – центр кола, – радіус кола.

Якщо – центр кола співпадає з

Рисунок 3.13 початком координат: (3.18)

Еліпс

Означення 3. Крива другого порядку (3.16) називається еліпсом, якщо коефіцієнти і мають однакові знаки, тобто > :

(3.19)

– центр еліпса, – півосі еліпса.

Якщо , то центр еліпса знаходиться в точці (рис.3.14) і:

(3.20)

Рисунок 3.14

Означення 4. Точки і , де , > називаються фокусами еліпса.

Означення 5. Відношення , називається ексцентриситетом еліпса.

Характеристична властивість еліпса

Теорема 1. Для будь-якої точки еліпса сума її фокальних радіусів стала і дорівнює : .

Доведення.

, .

.

Аналогічно .

Оскільки , то і . Теорему доведено.