Множення вектора на число

Означення 2. Ортом ненульового вектора називається вектор , модуль якого дорівнює одиниці, а напрямок співпадає з напрямком вектора : .

Справедлива рівність: , .

Теорема 1. (Ознака колінеарності 2-х векторів) Для того, щоб два вектори були колінеарні необхідно і достатньо, щоб один із них дорівнював добутку деякого числа на інший вектор.

Нехай вектор утворює з осями координат кути , , . Напрямними косинусами осі (або напрямку ) називаються косинуси цих кутів (, , ). Якщо напрямок заданий одиничним вектором , то напрямні косинуси є його координатами . Напрямні косинуси пов’язані між собою

Рисунок 2.6 співвідношенням: .

2.4 Лінійна залежність та незалежність векторів

Означення 1. Вектори , … називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа одночасно не всі рівні нулю, що виконується рівність . В іншому випадку вектори називаються лінійно незалежними.

Якщо вектори , … лінійно залежні і наприклад , тоді тобто, – є лінійною комбінацією векторів , … .

Таким чином, якщо вектори лінійно залежні, то хоча б один із них лінійно виражається через решту векторів.

Геометрично: (рис. 2.7).

.

Рисунок 2.7

Теорема 1. (Про лінійну залежність 2-х векторів) Два вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Доведення.

– лінійно залежні .

Тоді за ознакою колінеарності .

Теорему доведено.

Теорема 2. (Про лінійну залежність 3-х векторів) Три вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.

Доведення.

1. Необхідність.

Нехай лінійно залежні. Покажемо, що вони компланарні. З того що вектори лінійно залежні, випливає :

а) якщо , то лежить з ними на одній прямій, тоді компланарні;

б) якщо , тоді за правилом паралелограма маємо, що всі вектори лежать в одній площині компланарні.

2. Достатність.

Нехай компланарні. Покажемо, що вони лінійно залежні.

а) лінійно залежні;

б) – попарно колінеарні. Нехай (рис.2.8).

1) ;

2) тоді

– лінійно залежні.

Рисунок 2.8

Наслідок: 1. Три компланарні вектори лінійно незалежні.

2. Чотири вектори в трьохвимірному лінійному просторі лінійно залежні завжди.

Теорема 3. Якщо два вектори неколінеарні, то будь-який вектор що лежить в площині векторів , можна лінійно виразити через вектори і єдиним способом.

Доведення.

– компланарні (за умовою), тоді існують такі числа одночасно не рівні нулю, що .

Розглянемо два випадки:

а) нехай, наприклад, , тоді – лінійно залежні: .

б) , , або .

Так як лінійно незалежні, то .

або

.

Теорему доведено.

Теорема 4. Якщо три вектори – некомпланарні, то будь-який вектор можна лінійно виразити через , притому єдиним способом: .

2.5 Базис і координати вектора

Означення 1. Множину найрізноманітніших систем () дійсних чисел називають n-вимірним дійсним простором і позначають через R_n.

Кожну таку систему чисел назвемо точкою або вектором R_n. Числа – координати точки (вектора) або компоненти вектора.

Означення 2. Сукупність лінійно незалежних векторів -вимірного простору називається його базисом.

Зауваження. Простір називається лінійним векторним простором, якщо в ньому визначені операції додавання векторів і множення на число.

Теорема 1. Кожен вектор лінійного -вимірного простору можна представити єдиним способом у вигляді лінійної комбінації векторів базису

Числа називаються координатами вектора в базисі , тобто .