Довільні системи лінійних рівнянь

Розглянемо прямокутну матрицю .

Означення 1. Рангом матриці називається найбільший порядок мінору цієї матриці, відмінного від нуля.

Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, то ранг такої матриці також дорівнює нулю.

Означення 2. Будь-який, відмінний від нуля мінор матриці, порядок якого дорівнює рангу цієї матриці називається базисним мінором матриці.

Ранг матриці позначимо через . Якщо , то матриці і називаються еквівалентними .

Елементарні перетворення не змінюють ранг матриці:

1. Заміна рядків стовпцями і навпаки.

2. Перестановка рядків матриці.

3. Закреслення рядка матриці, всі елементи якого дорівнюють нулю.

4. Множення будь-якого рядка на число відмінне від нуля і додавання його до іншого рядка.

Означення 3. Якщо в матриці будь-який рядок може бути представлений у вигляді суми інших паралельних йому рядків, помножених відповідно на числа , ,…, , то кажуть, що даний рядок є лінійною комбінацією вказаних рядків.

Означення 4. L – паралельних рядків матриці називаються лінійно залежними, якщо хоча б один з них є лінійною комбінацією решти. В протилежному випадку вони лінійно незалежні.

Теорема 1. (Про базисний мінор)

1. Будь-який рядок (стовпчик) матриці є лінійною комбінацією базисних рядків.

2. Базисні рядки матриці лінійно незалежні.

При обчисленні рангу матриці використовуються елементарні перетворення, метод зведення матриці до трапецієвидної форми та інші.

Приклад 1. Знайти ранги наступних матриць:

1.

Ранг матриці дорівнює кількості ненульових рядків: .

2.

.

Теорема 2. (Кронекера-Капеллі) Для сумісності системи

необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи дорівнював рангу її розширеної матриці.

Доведення.

1. Необхідність.

Нехай система (1.2) сумісна і , ,…, – один із її розв’язків. Покажемо, що , де – матриця системи, – розширена матриця системи. Підставимо , ,…, в систему (1.2):

Виконаємо над матрицею елементарні перетворення: до останнього стовпця додамо перший стовпчик помножений на (), другий на (),..., -ий на (). Тоді, враховуючи (1.3), отримаємо:

.

Ранг не зміниться .

2. Достатність.

Нехай матриці і мають однаковий ранг і . Покажемо, що система (1.2) сумісна. Можна припустити, що відмінний від нуля визначник порядку знаходиться в лівому верхньому кутку, як матриці , так і , тобто:

.

Тоді перші рядків матриць та лінійно незалежні, а кожен із решти рядків може бути представлений як лінійна комбінація перших рядків. Це означає, що останні рядків системи є наслідками перших. Тому їх можна відкинути і дана система буде рівносильною системі:

Теорема доведена.

Можливі два випадки:

1) , тобто число рівнянь системи дорівнюють числу невідомих, причому визначник цієї системи . Система має єдиний розв'язок, який знаходиться за формулами Крамера, матричним методом чи методом Жордана-Гауса.

2) < , тобто число рівнянь системи менше числа невідомих, тоді система має безліч розв’язків.

Приклад 2. Довести сумісність та знайти розв’язок системи лінійних рівнянь:

Розв’язання.

Запишемо розширену матрицю даної системи:

.

Зробимо нижче головної діагоналі нулі:

.

Маємо систему:

Виразимо і через і :

Відповідь:

Приклад 3. Дослідити на сумісність систему:

Розв’язання.

Запишемо розширену матрицю системи і зведемо її до трапецієвидної форми: .

.

Відповідь: Система несумісна.

 

 

1.8 Однорідні системи лінійних рівнянь

Розглянемо систему рівнянь:

Цю систему назвемо однорідною. Вона завжди сумісна, так як , і має тривіальний розв’язок .

Теорема 1. Для того, щоб система (1.5) мала ненульовий розв’язок необхідно і достатньо щоб ранг її матриці був менший за .

Доведення.

Дійсно, якщо , то система має один розв’язок – тривіальний. Якщо < , то (1.5) є невизначеною системою, тобто має безліч розв’язків, в тому числі і безліч ненульових розв’язків.

Теорема 2. Для того, щоб однорідна система лінійних рівнянь з невідомими мала ненульовий розв’язок, необхідно і достатньо, щоб її визначник .

Доведення.

Умова є необхідною, оскільки, якщо , то система має єдиний нульовий розв’язок. Ця умова є і достатньою: якщо , то ранг < і система має нескінченну множину ненульових розв’язків.

Приклад 1. Розв’язати систему:

Розв’язання.

.

Відповідь: .

Приклад 2. Розв’язати систему:

Розв’язання.

, , <

Відповідь: