Властивості проекцій

1. , якщо , або .

2. .

3. .

4. .

Доведемо 2.

1). > 0 .

2). < 0 .

 

2.7 Декартові координати вектора та точки

Розглянемо прямокутну систему координат в просторі . На кожній осі виберемо одиничний вектор, напрям якого співпадає з додатнім напрямком осей , , , . Ці три взаємно перпендикулярні вектори називаються ортами. Так як вони некомпланарні, то вони утворюють базис, який називається декартовим ортогональним базисом.

Розглянемо в просторі вектор . Через кінець вектора проведемо площини, паралельні координатним площинам, отримаємо паралелепіпед, однією із діагоналей якого є (рис.2.10).

За означенням суми декількох векторів маємо: , але

Рисунок 2.10 , .

Вектори , , є складовими векторами по осям , , , але , , .

Нехай точка має координати . Напрямлений відрізок називається радіус-вектором т. тобто , тоді проекції вектора на осі , , і – декартові координати .

Напрямні косинуси

Нехай дано , тоді:

;

;

.

Таким чином, будь-якийвектор має орт: .

 

2.8 Ділення відрізка в даному відношенні

Поділити відрізок (рис.2.11) в даному відношенні >0 означає на даному відрізку знайти таку точку , для якої виконується рівність:

, або . (2.1)

Рисунок 2.11

Нехай є т. і т. . Знайдемо координати точки . Оскільки виконується рівність (2.1), маємо:

.

Тоді ;

;

.

Таким чином: , , .

Якщо т. середина відрізка , тобто , то:

, , .

Приклад 1. Горизонтальна балка довжиною 3 м і масою 80 кг вільно лежить своїми кінцями на двох рухомих опорах і (рис.2.12). На відстані від кінця потрібно розмістити вантаж масою 200 кг, щоб тиск на опору дорівнював 1100 Н.

Рисунок 2.12

Розв'язання.

Маса балки 80 кг складає 784 Н. На опору діє половина ваги балки. Тобто 392 Н. Вага масою 200 кг діє на балку силою 1960 Н. На частину опори повинно припадати 1100 – 392 = 708 Н, а на частину опори - інші 1252 Н.

Прийнявши точку А за початок координат (рис. 2.12), ділимо відрізок у відношенні

Тоді:

Таким чином, щоб тиск на опору дорівнював 1100 Н, необхідно вантаж масою 200 кг розмістити на відстані 1,07 м від опори .