Рівняння кривих другого порядку в полярній системі координат

1) – коло.

2) – еліпс.

Деякі криві другого, третього порядку

Кардіоїда

 

Циклоїда

Архімедова спіраль

 

 

Лемніската Бернуллі

 

Декартів лист

Астроїда

 

Троянди

 

 

Параметричне задання рівняння лінії

Інколи замість рівнянь ліній, які пов’язують прямокутні координати та , розглядають параметричні рівняння, які визначають зміну величини (параметра).

Наприклад в механіці т. є функція від часу :

Розглянемо параметричне рівняння кола, коло (рис.3.18).

В трикутнику : , .

Рисунок 3.18

Рівняння кола в полярній системі координат:

Рівняння еліпса в полярній системі координат:

Приклад 1. Побудувати криву

Розв’язання.

. – парабола.

t	-2	-1	0	1	2…
x	4	1	0	1	4…
y	-4	-2	0	2	4…

 

Приклад 2. Побудувати криву

Розв’язання.

Це циклоїда

t
x
y

 

Поверхні другого порядку

Сфера

Означення 1. Сферою радіуса називається множина всіх точок простору, відстань від кожної точки якої до даної точки (центру) дорівнює (рис.3.19).

,

де – центр сфери.

При .

 

Рисунок 3.19

Циліндричні поверхні

Означення 2. Поверхня, що складається з усіх прямих, що перетинають дану лінію називається циліндричною поверхнею.

 

 

Еліптичний циліндр:

 

Круговий циліндр:

Параболічний циліндр:

 

 

Гіперболічний циліндр: