Властивості

1. Сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Доведення.

Нехай і – нескінченно малі послідовності. Доведемо, що послідовність – нескінченно мала.

Нехай – нескінченно мала. – номер, починаючи з якою – номер, починаючи з якого (за означенням 1). Візьмемо . Тоді при будуть одночасно виконуватись нерівності:

– нескінченно мала.

2. Добуток двох нескінченно малих послідовностей на обмежену послідовність є нескінченно мала послідовність.

Доведення.

Нехай – обмежена послідовність, – нескінченно мала послідовність. Доведемо що – нескінченно мала.

З обмеженості випливає, що вона обмежена . Візьмемо . Так як – нескінченно мала, то для знайдеться номер такий, що при виконується нерівність . Тоді при маємо: – нескінченно мала.

3 Добуток нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Доведення.

Нехай і – нескінченно малі послідовності. Доведемо, що нескінченно мала послідовність.

З того, що нескінченно мала, випливає, що для будь-якого знайдеться такий, що при , і так як – нескінченно мала, випливає, що для знайдеться такий, що при . Візьмемо . Для маємо:

– нескінченно мала.

Наслідок. З трьох властивостей випливає, що сума, добуток будь-якого числа нескінченно малих послідовностей є послідовність нескінченно мала.

Теорема. Для того, щоб змінна мала границю необхідно і достатньо, щоб , де – нескінченно мала.

Означення 3. Послідовність називається нескінченно великою, якщо для кожного , знайдеться таке , що , (), при цьому записують:

.