Властивості числових послідовностей
1. Якщо послідовність збіжна,то вона обмежена. Доведення. Нехай
Нехай 2. Будь-яка збіжна послідовність має тільки одну границю. Доведення. Використаємо метод від протилежного. Нехай послідовність
Так як всі елементи послідовності 3. Якщо 4. Якщо змінні 5. Якщо
Доведення. Нехай Тоді: Що і потрібно було довести. 6. Якщо
7. Якщо
Теорема. (Ознака збіжності послідовності) Доведемо, що Доведення. Розглянемо послідовність Доведемо, що вона збіжна. Для цього необхідно довести, що вона зростає та обмежена зверху. За формулою Бінома-Ньютона:
де
При За формулою суми геометричної прогресії Так, змінна величина
|
– збіжна і 
– її границя. Візьмемо ε > 0, 
– номер починаючи з якого 
: 
для 
– обмежена.
границі 
і 
. Тоді 
і 
.
мають одне і теж стале значення 
, то 
а це суперечить нашому припущенню.
і 
то 
.
і 
– збігаються до однієї границі, то змінна 
, така що 
, також збігається до цієї границі.
, 
збіжні, то 
також збіжна і границя
, 
Тоді задамо 
і візьмемо 
таке, що 
.
.
.
монотонно зростає (спадає) і обмежена зверху (знизу), то вона має границю: 
, 
.
– число сполучень, 
і 
< 
коли 0< 
< 
< 
– зростаюча. Також бачимо, що: 
і т.д. в розкладі 
, а 
– обмежена зверху.
– зростаюча і обмежена, тому за ознакою збіжності послідовності вона має границю. Ця границя позначається літерою 
: 
