Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Властивості числових послідовностей




1. Якщо послідовність збіжна,то вона обмежена.

Доведення.

Нехай – збіжна і – її границя. Візьмемо ε > 0, – номер починаючи з якого

Нехай : для – обмежена.

2. Будь-яка збіжна послідовність має тільки одну границю.

Доведення.

Використаємо метод від протилежного. Нехай послідовність має дві границі і . Тоді і .

Так як всі елементи послідовності мають одне і теж стале значення , то а це суперечить нашому припущенню.

3. Якщо і то .

4. Якщо змінні і – збігаються до однієї границі, то змінна , така що , також збігається до цієї границі.

5. Якщо , збіжні, то також збіжна і границя

Доведення.

Нехай , Тоді задамо і візьмемо таке, що .

Тоді: .

Що і потрібно було довести.

6. Якщо , збіжні, то

.

7. Якщо

 

Теорема.(Ознака збіжності послідовності)Якщо послідовність монотонно зростає (спадає) і обмежена зверху (знизу), то вона має границю: , .

Доведемо, що

Доведення.

Розглянемо послідовність

Доведемо, що вона збіжна. Для цього необхідно довести, що вона зростає та обмежена зверху. За формулою Бінома-Ньютона:

де – число сполучень,

і < коли 0< < < – зростаюча. Також бачимо, що: і т.д. в розкладі , а

При

За формулою суми геометричної прогресії – обмежена зверху.

Так, змінна величина – зростаюча і обмежена, тому за ознакою збіжності послідовності вона має границю. Ця границя позначається літерою : .







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 393. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия