Похідна функції

Нехай задана функція (рис.4.28). Розглянемо два значення аргументу і :

Рисунок 4.28

Означення 1. Похідною в т. називається границя відношення приросту функції в цій точці, до приросту аргументу , якщо :

Нехай на кривій задана т. .

Означення 2. Дотичною є пряма, яка займає граничне положення січної.

Розглянемо графік функції , яка має в т. невертикальну дотичну (рис.4.29). Знайдемо кутовий коефіцієнт , для цього проведемо через т. січну де Її кутовий коефіцієнт , при , при цьому січна необмежено наближається до дотичної , тобто , а тому – кутовий коефіцієнт дотичної:

 

 

Рисунок 4.29

Висновок. Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці з абсцисою дорівнює значенню похідної цієї функції в т. :

.

Означення 3. Якщо функція має неперервну похідну на , то функція називається гладкою на цьому проміжку.

Означення 4. Функція похідна якої допускає тільки скінчене число точок розриву, причому I-го роду, на даному проміжку , називається кусково-гладкою на цьомупроміжку.

Зауваження. Знаходження похідної функції називають диференцію-ванням.

Якщо функція диференційовна в кожній точці деякого відрізка чи на інтервалі , то кажуть, що вона диференційовна відповідно на відрізу чи на інтервалі.

Теорема. Якщо функція диференційовна в будь якій точці, то вона неперервна в ній.

З теореми випливає, що в точках розриву функція не має похідної. Проте обернене твердження неправильне. Тобто, з того, що в деякій точці функція неперервна ще не випливає, що в цій точці вона диференційовна.