Диференціали вищих порядків
Означення 4. Диференціал від диференціала першого порядку називають диференціалом другого порядку:
Аналогічно знаходимо диференціал 3-го та 4-го порядку: Зауваження. Теореми про добуток і частку похідної справедливі і для диференціала: Дійсно:
Деякі теореми про диференційовні функції. Правило Лопіталя Теорема Ферма. (Фр. 1601 – 1665) Нехай функція
Нехай в т. Так як Рисунок 4.32 Оскільки в т.
а) б) Теорема Ролля. Якщо Теорема Лагранжа. Якщо Геометричний зміст: на
Рисунок 4.33 Доведення. Візьмемо на
Що і потрібно було довести.
|
.
.
, 
. Але для диференціала 
порядку вони мають зміст тільки коли 
незалежна змінна. Для складеної функції ці формули не виконуються.
визначена на інтервалі 
і приймає в деякій точці 
найбільше або найменше значення. Тоді якщо в т. 
існує похідна цієї функції, вона дорівнює нулю.
функція приймає найбільше значення 
на інтервалі 
(рис.4.32). Покажемо, що 
.
.
i 
, то 
і 
;
, то 
і 
. Теорему доведено.
неперервна на проміжку 
та диференційовна на інтервалі 
і 
, то знайдеться точка 
, така, що 
.
.
, в якій дотична до графіка 
(рис.4.33).
.Так, як вона задовольняє теорему Ролля, то існує точка 
.
