Границя та неперервність функції багатьох змінних

Означення 1. Функція, залежна від двох та більше змінних, називається функцією багатьох змінних (ФБЗ)

Означення 2. Областю визначення ФБЗ є множина точок для яких функція визначена.

Приклад 1. Знайти область визначення функції .

Розв’язання.

Відповідь: рис.5.1.

Рисунок 5.1

Приклад 2. Знайти область визначення функції .

Розв’язання.

Відповідь: рис.5.2.

 

Рисунок 5.2

Означення 3. Лінією рівня функції називається лінія , в площині в точках якої функція зберігає стале значення .

Приклад 3. Побудувати лінії рівня функцій .

Розв’язання.

Відповідь: рис.5.3.

 

Рисунок 5.3

Означення 4. Поверхнею рівня функції називається поверхня , в точках якої функція зберігає стале значення .

Приклад 4. Побудувати поверхні рівня .

Розв’язання.

Відповідь: рис.5.4.

 

Рисунок 5.4

Означення 5. Околом точки є множина

усіх точок , які задовольняють

нерівності

. – окіл (рис.5.5).

Рисунок 5.5

Означення 6. Число називається границею функції коли , якщо для будь-якої послідовності точок таких, що , виконується рівність:

.

Означення 7. Функція називається неперервною в точці , якщо виконується рівність . У випадку двох змінних .

Означення 8. Функція називається неперервною на множині, якщо вона неперервна в будь-якій точці цієї множини.

Зауваження. Усі теореми і властивості однієї змінної справедливі для функції багатьох змінних.