Первісна та невизначений інтеграл

Означення 1. Функція називається первісною для даної функції на проміжку , якщо для будь-яких .

Теорема 1. Якщо і – дві первісні для функції на проміжку , то їх різниця дорівнює сталому числу.

Доведення.

Нехай існує на проміжку , та і її первісні. За означенням 1 маємо та .

За наслідком з теореми Лагранжа, маємо , де , тобто, . Теорему доведено.

Наслідок. Якщо первісна для деякої функції , то будь-яка інша первісна для має вигляд .

Означення 2. Невизначеним інтегралом від функції називається сукупність всіх первісних для функції і позначається символом , де – підінтегральна функція, – підінтегральний вираз, – знак інтеграла.

Інтегруванням називається операція знаходження первісної для даної функції . Крива називається інтегральною кривою.

Властивості невизначеного інтеграла

1.

2.

3.

4.

5. , де

6.

Знаки i слідуючи один за одним в будь-якій послідовності взаємознищуються.

 

Доведемо 5-ту властивість:

Нехай – первісна .

За означенням 2 маємо: .

Тоді є первісною для функції . Дійсно, за означенням 1:

.

 

Таблиця невизначених інтегралів

Нехай – незалежна змінна, функція неперервна на даному інтервалі і – її первісна.

(6.1)

Нехай , де неперервна і диференційовна, а неперервна. Розглянемо . (6.2)

В даному випадку складена функція є первісною для підінтегральної функції (6.2). Тоді знайдемо

.

Це означає , (6.3)

де .

Тобто, мають місце (6.1) і (6.3).

Зауваження. Деякі перетворення диференціалів :

1. , де .

2. .

3.

4.

5.

6.

 

Таблиця інтегралів

1. 10.

2. 11.

3. 12.

4. 13.

5. 14.

6. 15.

7. 16.

8. 17.

9. 18.