Диференційованість і диференціал функції

Означення 1. Функція називається диференційовною в точці , якщо приріст в ній може бути зображений у вигляді

, (5.2)

де і – деякі, залежні від , числа, а і – нескінченно малі коли , .

Означення 2. у рівності (5.2) називається головною лінійною частинною приросту функції в точці .

Означення 3. Диференціалом функції двох змінних називається головна лінійна частина приросту .

Теорема. Якщо функція диференційовна в точці , то дана функція має частинні похідні по і в даній точці, а коефіцієнти і в головній лінійній частині приросту обчислюються за формулами: .

Доведення.

За умовою теореми функція є диференційовною в точці . Нехай . Тоді , поділимо рівність на і знайдемо границю частки, коли :

.

Тобто , аналогічно . Що і потрібно було довести.

Теорема. (Достатня умова диференціювання) Якщо функція двох змінних має в деякому околі точки, неперервні частинні похідні першого порядку за змінними та , то повний диференціал функції в цій точці існує і обчислюється за формулою:

. (5.3)

Приклад 1. Знайти повний диференціал функції .

Розв’язання.

Відповідь: .

Рівність (5.3) використовується для наближеного обчислення значень функції.

Нехай , тоді , тобто:

.

Приклад 2. Обчислити в т. , .

Розв’язання.

Наближене значення: .

Точне значення: .

Відносна похибка: .

Похідна складеної функції , яка має неперервні частинні похідні за змінними в деякому околі т. , де , обчислюється за формулою: . (5.4)

Приклад 3. .

Розв’язання.

.