Цикл Карно. К.П.Д. цикла. Второе начало термодинамики

В конце предыдущего параграфа сказано, что для тепловой машины, рабочим веществом которой является идеальный газ, необходимы два тепловых резервуара, имеющие температуры и и обладающие бесконечно большой теплоёмкостью Последнее необходимо для того, чтобы получение или отдача этими резервуарами конечного количества тепла не изменяло их температуру. Далее возникает естественный вопрос, каким может быть обратимый цикл в этих условиях; из каких простейших изопроцессов может быть «собран» замкнутый цикл такой тепловой машины.

Предполагаемый цикл, естественно, должен состоять из процесса, в ходе которого рабочее вещество обменивается теплом с резервуаром, а также из процесса, не сопровождающегося теплообменом с внешней средой. Последнее обусловлено тем, что система должна отдавать безвозвратно часть энергии во внешнюю среду, чтобы процесс был замкнутый.

Процесс, сопровождающийся теплообменом, может быть обратимым только в том случае, если, получая тепло от резервуара с и возвращая его при обратном ходе резервуару с , тело имеет одну и ту же температуру, равную температуре соответствующего резервуара. Единственным обратимым процессом, сопровождающимся теплообменом с резервуаром, температура которого остаётся неизменной, является изотермический процесс, протекающий при температуре резервуара .

Чтобы работа в замкнутом цикле была больше нуля, температура в процессе расширения должна быть больше, чем при сжатии, Естественно, переход с изотермы, где система получает теплоту на изотерму , где система отдаёт теплоту, должен произойти без теплообмена с внешней средой, что, естественно, возможно лишь при адиабатическом процессе.

Всё это наводит на мысль, что обратимый цикл, совершаемый системой, вступающей в теплообмен с двумя тепловыми резервуарами бесконечно большой ёмкости, может состоять только из двух изотерм при температурах резервуаров и двух адиабат. Впервые такой цикл был введён в рассмотрение французским инженером Сади Карно и носит название цикла Карно. На графике в координатах (р, V) цикл выглядит так, как это показано на рис. 8.2..

Перейдём к рассмотрению цикла Карно, взяв в качестве рабочего вещества идеальный газ. Поместим газ в цилиндр, плотно закрытый поршнем. Стенки цилиндра и поршень сделаны из непроводящего тепло материала, дно цилиндра изготовлено из хорошо проводящего тепло вещества.

Рис. 8.2.

Теплоёмкость цилиндра и поршня будем считать бесконечно малыми.

Рис.8.2.а

Пусть первоначально поршень занимает положение, отвечающее объёму V ₁ и температуре газа Т ₁,. Поставим цилиндр на резервуар, имеющий температуру Т ₁, рис. 8.2.а., и предоставим газу возможность расширяться до объёма V ₂. При этом газ получит от нагревателя тепло Q ₁. Поскольку при изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа остаётся постоянной, количество полученного газом тепла Q ₁ равно работе А ₁₂, совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2 (рис. 8.2.). Количество тепла, согласно формуле (12), равно:

(22)

Рис.8.2.б

Снимем цилиндр с резервуара с температурой Т ₁, закроем дно теплоизолирующей крышкой и дадим возможность газу расширяться адиабатически из состояния 2 до состояния 3, рис. 8.2.. Совершая работу по расширению за счёт внутренней энергии, газ охладится, поэтому температура понизится до значения Т ₂ Т ₁. Объём газа в результате расширения станет равен V ₃ (рис. 8.2.б). Исходя из состояния 3, начнём газ сжимать изотермически при постоянной температуре Т ₂ до состояния 4, характеризуемого объёмом V ₄. При этом газ отдаёт холодильнику количество тепла Q ₂, равное совершённой работе А ₃₄ (рис.8.2.в).

 

 

Исходя из формулы (12), количество отданного тепла равно:

(23)

Наконец, исходя из состояния 4, сожмём газ адиабатически так, чтобы он принял исходное состояние 1 и нагрелся до исходной температуры Т ₁; рис.8.2.г, а так же 8.2..

Рис.8.2.в

Рис.8.2.г

Убедимся в том, что такого рода процесс, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, действительно может быть выполнен в виде замкнутого цикла. Для этого воспользуемся формулой (16) или (17), по которой при адиабатическом расширении из состояния 2 в состояние 3 (рис.8.2.) имеет место соотношение:

(24)

Пытливый читатель должен в этом убедиться самостоятельно.

Для того чтобы цикл был замкнутым, нужно, чтобы состояния 4 и 1 лежали на одной и той же адиабате. Это возможно, если выполняется условие (17), из которого следует, см. рис.8.2.:

(25)

Разделив выражение (24) на (25), читатель, привыкший проверять преобразования, приходит к условию замкнутости цикла:

(26)

Здесь вдумчивый читатель на знаковом (словесном) языке должен пояснить себе, почему выражение (26) является условием замкнутости цикла, в частности, цикла Карно. Успех пытливого читателя потребует осознания арифметической операции деления и необходимости передачи тепла холодильнику.

Предыдущие усилия по поиску коэффициента полезного действия замкнутого цикла позволили выяснить, к.п.д. обратимой машины не зависит от её устройства и свойств рабочего вещества, но определяется темперой нагревателя и холодильника. Однако вид зависимости к.п.д. от температуры нагревателя и температуры холодильника остался невыясненным. Проведённое выше рассмотрение цикла Карно, позволяет устранить обозначенную проблему. Действительно, установленная аналитическая зависимость количества тепла Q ₁(Т ₁) получаемого рабочим веществом и отдаваемого холодильнику тепла Q ₂(Т ₂) позволяют установить зависимость к.п.д. от обозначенных температур. Подставляя формулу (22) теплоты Q ₁ и Q ₂ (23) в уравнение к.п.д. тепловой машины (21), найдём:

Наконец, учитывая равенство (26), получаем:

(27)

Таким образом, к.п.д. любой обратимой машины и цикла Карно, в частности, оказывается «чувствительным» к температуре нагревателя и холодильника. Пытливый читатель, проведя преобразования, убедился в этом?

Рассматривая замкнутый цикл тепловой машины, мы пришли к выводу о неизбежности передачи части тепла от нагревателя к холодильнику; см. уравнение (20). Впервые это было высказано Сади Карно в 1824 году, а позднее обобщено Клаузиусом и Томсоном в принцип невозможности осуществления такого периодического процесса, единственным результатом которого было бы получение работы за счёт взятого количества тепла от одного источника. В этом и состоит суть второго начала термодинамики. Данная формулировка второго начала не единственная. Не возможен периодически действующий механизм, который всё получаемое от нагревателя количество теплоты целиком переводил бы в работу; часть этого количества теплоты должна быть отдана холодильнику. А вот ещё один, самый короткий; «круговые процессы, в течение которых система только получает, но не отдаёт теплоту, невозможны».