Интегрирование по частям.

С помощью формулы интегрирования по частям

где u, v –дифференцируемые функции, зависящие от х, нахождение интеграла сводится к отысканию более простого интеграла .

Например:

1). Найти интеграл

.

Положим

,

тогда

.

Отсюда

.

Используя формулу интегрирования по частям, получим

2). Найти интеграл

Полагая

найдем

Отсюда

3). Найти интеграл

.

Полагая

получим

Тогда интеграл примет вид:

 

Используя формулу интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

 

§4. Применение неопределенного интеграла при решении прикладных задач.

Рассмотрим задачи.

1). Шкив вращается вокруг оси под действием момента сил М, который меняется с течением времени по закону М=Аt, А - известная постоянная величина. Найти угловую скорость w и угол поворота jшкива в любой момент времени, если в начальный момент шкив был неподвижен. Момент инерции шкива равен I.

Используем для решения основное уравнение динамики вращения тела

Отсюда .

Угловую скорость находим интегрированием последнего выражения, т.е.

Постоянную интегрирования С найдем из начальных условий, т.е. из условия, что при t =0, w=0. Получаем, что С =0. Таким образом, угловая скорость в любой момент времени равна

.

Учитывая, что угловая скорость и угловой путь связаны формулой

,

найдем угловой путь

,

где С- постоянная интегрирования, которая вновь определяется из начального условия: при t =0, w=0, значит С ₁=0. Следовательно, угол поворота шкива в любой момент времени равен

2). Скорость тела через t с после начала движения равна V =(4 t +5) м/с. Определить путь, пройденный телом за t с после начала отсчета.

Учтя, что , получим . Тогда

.

Постоянную интегрирования найдем из начального условия, что при t =0 тело покоилось, следовательно С =0. Тогда окончательно имеем

S =2 t ²+5 t (м).

 

Решить следующие задачи.

 

4.78 Скорость тела через t с после начала движения равна V=V ₀ +at ( м/с). Определить путь, пройденный телом за это время.

4.79 Скорость прямолинейного движения тела в любой момент времени t равна V= 3 t ² + 4 t (м/с). Найти расстояние, пройденное телом в любой момент времени от начала отсчета, если через 2 с оно равно 15 м.

4.80 В любой момент времени ускорение тела а = (м/с²).Найти зависимость пройденного пути от времени движения, зная, что тело начинает двигаться из состояния покоя с начальной скоростью 3 м/с.

4.81 В любой момент времени скорость тела V= p×cosp t ( м/с). Найти закон движения тела, зная, что в момент времени t =2с пройденное от начала отсчета расстояние равно4 м.

4.82 Сила, действующая на тело в направлении движения, меняется со временем по закону F =6 t (Н). Найти скорость тела в любой момент времени, зная, что в момент начала отсчета она была равна 1 м/с. Масса тела 3 кг.

4.83 На диск действует постоянный вращающий момент силы М =2Н×м. Найти закон изменения угловой скорости и угла поворота диска с течением времени, если в начальный момент времени угловая скорость была 30 рад/с, а угол поворота равен нулю. Момент инерции диска 0,02кг×м².

4.84 Ток в цепи, содержащей конденсатор, меняется по закону

I = I_max sinw t (А), где I_max и w- постоянные величины. Как изменяется со временем заряд конденсатора, если в момент времени, когда ток максимален, заряд равен нулю?

4.85 Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью V ₀, определяется по формуле V = V ₀- gt (м/с). На каком расстоянии от начального положения будет находиться тело через t с после броска?