Основные свойства определенного интеграла

 

1.
2.
3.
4.
5.	, где С - постоянная величина.

 

Рассмотрим следующие примеры.

1). Вычислить интеграл

.

Найдем одну из первообразных F (x) для функции 4 x ³ и вычисляем значение определенного интеграла:

.

 

2). Вычислить интеграл

.

Используя правило вычисления определенного интеграла и его свойства, получим:

 

3). Вычислить интеграл

.

Первообразную F (x) для функции получим, вычислив неопределенный интеграл. Для этого введем новую переменную

U =sin x,

тогда

dU =cos xdx.

 

Неопределенный интеграл примет вид

Отсюда и определенный интеграл равен

.

 

4). Вычислить интеграл

.

Для нахождения соответствующего неопределенного интеграла применим формулу интегрирования по частям, т.е. полагая, что

Отсюда

Тогда .

Следовательно,

Вычислить определенные интегралы:

§2. Приложение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур.

 

Площадь S криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой , двумя прямыми x = a и x = b и отрезком оси абсцисс , вычисляется по одной из следующих формул:

, если на отрезке ;

 

, если на отрезке .

Площадь S фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми и и двумя прямыми x = a и x = b, где на отрезке , вычисляется по формуле

.

Рассмотрим примеры.

1). Вычислить площадь, ограниченную параболой , прямыми x =2, x =4 и осью абсцисс.

Площадь вычислим, ипользуя формулу . Тогда

2). Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми и осью ординат (рис.3).

 

Рис. 3

 

 

При вычислении искомой площади учтем, что изменены роли осей координат, т.е.:

3). Вычислить площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы , прямыми x =-3, x =-1 и осью абсцисс.

На отрезке функция отрицательна. Поэтому для вычисления площади рассматриваемой фигуры воспользуемся формулой

.

Получим

4). Вычислить площадь между линиями .

 

Рис.4

Искомая площадь изображена на рис. 4 и представляет собой разность между площадью прямоугольного треугольника OMx ₀ и площадью криволинейного треугольника, ограниченного сверху участком параболы:

.

Абсциссу x ₀ точки пересечения графиков находим, решая совместно уравнения , откуда .

Подставляя полученное значение верхнего предела интегрирования, получаем

Вычислить площадь, ограниченную гиперболой , осью абсцисс и ординатами .

Вычислить площадь фигуры, заключенной между линиями . Изобразить фигуру графически.

Найти площадь фигуры, заключенной между осью абсцисс и кривой .

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой , прямыми и осью абсцисс.

Вычислить площадь фигуры, образованной линиями .

Определить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

Найти площадь фигуры, заключенной между прямыми и осью абсцисс.

Вычислить площадь между линиями и .

Определить площадь, ограниченную экспонентой , осью абсцисс и ординатами .

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , осью абсцисс и прямыми .

 

§3. Приложение определенного интеграла к решению физических задач.

Рассмотрим решение следующих задач.

1). Через участок тела животного проходит импульс тока, который изменяется со временем по закону мА. Длительность импульса 0,1 с. Определить работу, совершаемую током за это время, если сопротивление участка равно 20 кОм.

За малый интервал времени dt, когда ток практически не меняется, на сопротивлении R совершается работа . За время всего импульса будет совершена работа

.

Подставляя в полученное выражение значение тока, получим.

2). Скорость точки равна (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за время t =4с, прошедшее от начала движения.

Найдем путь , пройденный точкой за бесконечно малый промежуток времени . Так как в течение этого времени скорость можно считать постоянной, то . Интегрируя, имеем

3). Найти силу давления жидкости на вертикальную треугольную пластину с основанием a и высотой h, погруженную в жидкость так, что ее вершина лежит на поверхности.

Систему координат расположим так, как показано на рис. 5.

 

Рис. 5

 

 

Рассмотрим горизонтальную бесконечно малую полоску толщиной dx, находящуюся на произвольной глубине x. Принимая эту полоску за прямоугольник, найдем ее основание EF. Из подобия треугольников ABC и AEF получаем

.

Отсюда

.

Тогда площадь полоски равна

.

Так как сила P давления жидкости на площадку S, глубина погружения которой r, по закону Паскаля равна

,

где r - плотность жидкости, g - ускорение силы тяжести, то искомая сила давления на рассматриваемую площадку dS вычисляется по формуле

.

Следовательно, сила давления P жидкости на площадку ABC

.

Решить задачи.

Скорость движения точки определяется уравнением см/с. Найти путь, пройденный точкой за время t =5с, протекшее от начала движения.

Скорость тела выражается формулой м/с. Найти путь, пройденный телом за первые три секунды после начала движения.

Скорость движения тела определяется уравнением см/с. Какой путь пройдет тело за третью секунду движения?

Два тела начинают двигаться одновременно из одной и той же точки: одно со скоростью (м/мин), а другое со скоростью (м/мин). На каком расстоянии друг от друга они будут через 10 мин, если двигаются по одной линии в одном направлении?

На тело массой 5 г, движущееся прямолинейно, действует сила (дин). Найти расстояние, пройденное телом в течении третьей секунды движения.

Скорость колеблющейся точки изменяется по закону (см/с). Определить смещение точки через 0,1 с после начала движения.

Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 0,06 м, если сила в 1Н растягивает ее на 0,01 м?

Скорость колеблющейся точки изменяется по закону (м/с). Определить путь, пройденный точкой за с от начала движения.

Азот, масса которого 7 г, расширяется при неизменной температуре равной 300°К так, что его объем увеличивается вдвое. Определить работу, совершаемую газом. Универсальная газовая постоянная Дж/кмоль.

Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину от длины в 25 см до длины в 35 см, если известно, что коэффициент жесткости пружины равен 400 Н/м?

Через тело животного проходит импульс тока, который изменяется со временем по закону (мА). Длительность импульса равна 0,1с. Определить заряд, протекающий через тело животного.

Какая работа совершается при растяжении мышцы на l мм, если известно, что при нагрузке P ₀ мышца растягивается на l ₀ мм? Считать, что сила, необходимая для растяжения мышц, пропорциональна ее удлинению.

Тело двигается в некоторой среде прямолинейно по закону . Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости . Найти работу, произведенную силой сопротивления среды при передвижении тела от S =0 до S = a метров