Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Экстремум функции




Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех этой окрестности выполняется неравенство < (максимум) или > (минимум).

Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) – максимумом (минимумом), или экстремумом функции.

Правило отыскания экстремумов функции:

a. Вычислить производную .

b. Составить уравнение =0 и найти его корни, которые являются критическими точками функции.

c. Установить знак производной слева и справа от критической точки.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус (вторая производная при этом меньше нуля), то в критической точке она имеет максимум.

Если производная в критической точке меняет знак с минуса на плюс (вторая производная при этом больше нуля), то функция в этом точке имеет минимум.

Рассмотрим примеры.

a. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

Находим первую производную заданной функции: . Приравниваем ее нулю и определяем критические точки: , значение является критической точкой. Определяем знак при переходе через критическую точку. Если , то <0. Если , то >0. Полученный результат позволяет утверждать, что в точке функция имеет минимум, значение которого .

b. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

Так как - периодическая функция с периодом , то достаточно найти экстремумы на отрезке .

Дифференцируя, получим . Производная существует на всем отрезке и обращается в нуль в точках . Для исследования функции на экстремум выясним знак второй производной в каждой из полученных точек. Имеем:

>0; <0; >0; <0.

 

Отсюда следует, что

при ; при ;
при ; при .

 

Рис. 1

c. В шар радиусом R вписан цилиндр наибольшего объема. Обозначим высоту, радиус основания и объем цилиндра соответственно через . Объем цилиндра рассчитывается по формуле . Из геометрических построений видно (рис. 1), что , тогда формула для расчета объема будет иметь вид .

Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции в промежутке .

Найдем производную: . Приравнивая нулю , получим единственную критическую точку , принадлежащую рассматриваемому промежутку , в которой объем и принимает наибольшее значение .

В итоге мы получили, что наибольший объем будет иметь цилиндр, высота которого .

d. На какой высоте над центром круглого стола радиусом R следует поместить электрическую лампочку, сила света которой J, чтобы освещенность E края стола была максимальной?

Решение.

Освещенность вычисляется по формуле , где значения и определяются, исходя из рис.2.

За независимую переменную примем угол и,

Рис. 2

учтя, что , получим

.

Найдем максимальное значение полученной функции в промежутке изменения независимой переменной . Дифференцируя , получим . Решая уравнение , находим, что функция в интервале имеет единственную критическую точку: . Следовательно, при освещенность будет наибольшей, поэтому . Это и есть искомая величина.

 

Исследовать на экстремум следующие функции.

3.8. . (Ответ: при функция имеет минимум).

3.9. . (Ответ: при функция имеет максимум).

3.10. . (Ответ: при функция имеет минимум).

3.11. .

(Ответ: при функция имеет максимум, при - минимум).

3.12. .

(Ответ: при функция имеет минимум, при - максимум).

3.13. . (Ответ: при функция имеет минимум).

3.14. >0.

(Ответ: при функция имеет минимум, при - максимум).

1. Исследовать функцию на экстремум и найти значения функции в экстремальных точках. (Ответ: при функция имеет минимум; ).

2. Секундный расход воды при истечении ее через отверстие в толстой стене определяется по формуле , где - диаметр отверстия, - глубина его низшей точки, - некоторая постоянная. При каком значении секундный расход воды является наибольшим? (Ответ: при ).

3. Показать, что мощность тока, получаемого от гальванического элемента во внешней цепи, будет наибольшей, если сопротивление R внешней цепи равно внутреннему сопротивлению самого элемента.

4. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью м/с. Уравнение движения тела . Будет ли тело подниматься или опускаться в момент с? В какой момент оно достигнет максимальной высоты и какова эта высота? (Ответ: тело поднимается; максимальной высоты достигнет в момент времени с; м).

5. Рост численности популяции в условиях ограниченности ресурсов происходит по закону , где - постоянная величина, зависящая от вида клеток, характера среды и других внешних факторов; и - начальная и максимально возможная численность популяции. Определить момент времени, когда скорость роста популяции максимальна, и численность популяции в этот момент. (Ответ: ; ).

6. В последовательной реакции концентрация промежуточного вещества зависит от времени по закону , где - постоянные величины ( > . Определить скорость изменения концентрации. Через какое время после начала реакции концентрация достигнет максимума? (Ответ: ; ).

7. В шар радиусом R вписан цилиндр, имеющий наибольшую боковую поверхность. Определить высоту цилиндра. (Ответ: высота равна ).

 

 







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 504. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия