Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Квантові теорії теплоємності твердих тіл.




Доверь свою работу кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Квантову теорію теплоємності твердих тіл уперше розвинув
А. Айнштайн, розглядаючи атоми кристалічної ґратки як незалежні осцилятори на один ступінь вільності яких припадає енергія

, (3.20)

де – частота коливань осцилятора.

Один моль кристалічної речовини містить атомів-осциляторів, кожен з яких має три ступені вільності. Тоді внутрішня енергія одного моля речовини

, (3.21)

де – внутрішня енергія за температури Т=0 К.

Зробимо заміну і продиференціюємо (3.21) за температурою. Отримаємо

. (3.22)

Величину , яка має розмірність температури, називають температурою Айнштайна, а вираз (3.22) – формулою Айнштайна. На підставі виразу (3.22) можна показати, що при <<1 і , тобто за високих температур теплоємність твердих тіл відповідає закону Дюлонга і Пті.

За низьких температур ( >>1) , тоді , що також узгоджується з експериментом. Водночас теорія Айнштайна не дала змоги пояснити температурну залежність теплоємності твердих тіл за низьких температур і аномально низької теплоємності бору, алмазу та ін.

Пояснення цих розбіжностей дає квантова теорія теплоємності Дебая, який, на відміну від Айнштайна, врахував, що коливання атомів кристалічної гратки не є незалежними. П. Дебай довів, що головний внесок у середню енергію квантового осцилятора роблять коливання з низькими частотами, утворюючи в кристалі пружні хвилі.

Згідно з квантово-механічними уявленнями, такій хвилі можна поставити у відповідність деяку частинку – фонон з енергією . Фонон з енергією є квантом енергії пружної хвилі або елементарним збудженням ґратки, яка поводиться як квазічастинка. У теорії Дебая енергію теплового збудження кристала розглядають як енергію фононного газу, описуваного статистикою Бозе–Айнштайна. Максимальну енергію кванта збудження ґратки можна виразити через – температуру Дебая:

. (3.23)

За Дебаєм, теплові коливання окремих атомів потрібно розглядати як пружні коливання всієї ґратки у доволі широкому діапазоні частот. На підставі наведених вище тверджень Дебай отримав такий вираз для молярної теплоємності твердих тіл:

, (3.24)

де .

Аналіз виразу (3.24) засвідчує, що за умови Т>> , СV ≈3R, а за умови Т<< ,

, (3.25)

де .

Рівняння (3.25) називають законом кубів Дебая. Зазначимо, що температура Дебая розділяє температурні інтервали, де справджуються класична (Т> ) чи квантова (Т< ) теорії. Для алмазу, берилію, кремнію і бору – значно більша від кімнатної температури (наприклад, алмазу дорівнює 1 850 К), тому для них за нормальних умов і простежується відхилення від закону Дюлонга і Пті.

Розглянемо тепер теплоємність металів і діелектриків. З погляду класичної теорії їхні теплоємності мають бути різними, оскільки в металах до ґраткової теплоємності повинна додаватись ще й теплоємність електронного газу. Зокрема, кожен атом у вузлі кристалічної ґратки можна вважати тривимірним осцилятором з енергією

. (3.26)

Тоді внутрішня енергія одного моля

, (3.27)

звідки ґраткова молярна теплоємність

(3.28)

Якщо ж у міжвузлях ґратки є електронний газ (метали), то його теплоємність становить .

Отже, за невисоких температур для металів а для діелектриків , що суперечить експерименту. Цю суперечність можна усунути, якщо до електронного газу застосувати квантову теорію, яка поширюється і на електронний газ у металах. Зокрема, газ вільних електронів у металах, на відміну від фононного газу, описує статистика Фермі–Дірака, згідно з якою за температури Т¹0 К лише незначна частина електронів змінює енергію і переходить у стани з енергіями понад ЕF (рис. 3.4). Для металів ЕF=3-7 еВ, тоді як Е==0,02–0,2еВ (для реальних температур, коли метал ще перебуває у твердому стані). Отже, Е<<ЕF, тому зі зміною температури функція розподілу змінюється незначно. На підставі цих міркувань можна зробити висновок, що теплоємність газу вільних електронів у металах є дуже малою, тому молярна теплоємність металу відповідає теплоємності ґратки

Точніший розрахунок електронної теплоємності засвідчує, що

, (3.29)

де ТF – це температура виродження електронного газу. Для більшості металів ТF ~104 К, тому за кімнатної температури і , отже,

 

 







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 628. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.034 сек.) русская версия | украинская версия