Физической статистики: вероятность, плотность вероятности, условие нормировки вероятности

 

Большинство событий в системе многих частиц (молекулярной системе) являются случайными. Закономерности, связанные со случайными величинами, изучаются теорией вероятности и математической статистикой. В теории вероятности [1,4] основным определением является частотное определение вероятности Р случайного события А:

(1.1)

где N_i – количество случаев, в которых наблюдается интересующий результат, N – общее число всех возможных случаев. Вероятность достоверного события (N_i = N) равна единице. Вероятность невозможного события равна нулю.

В статистической физике вероятностью макроскопического состояния a системы называется величина Р_a [3,4]:

(1.2)

где Г₀ – общее число микросостояний, доступных для системы, Г_a - число микросостояний, приводящих к данному макросостоянию a. Г_a называют термодинамической вероятностью макроскопического состояния. Величины Г₀ и Г_a в ряде задач могут быть вычислены с помощью методов комбинаторики. Подробный вывод основных формул элементарной комбинаторики приведен в [3].

 

 

Основные формулы элементарной комбинаторики

Число способов размещения m различных предметов по n местам:

(1.3)

Число способов размещения n различных предметов по n местам (число перестановок):

Г₂=n! (1.4)

Число способов размещения m неразличимых предметов по n местам:

. (1.5)

Число способов, которыми можно выбрать m различных предметов из n различных предметов, называется числом сочетаний и определяется выражением

(1.6)

Непрерывное распределение вероятности. Плотность вероятности. Условие нормировки вероятности

Если состояние физической системы характеризуется параметром j, случайно принимающим любые значения от j₀ до j₁, то определение вероятности (1.1) лишено смысла, поскольку множество значений параметра не является счетным. В этом случае вероятность определяется в дифференциальной форме:

(1.7)

Утверждается, что dP(j) пропорциональна величине достаточно малого интервала изменений переменной dj, а коэффициент пропорциональности f(j) не зависит от величины этого интервала и называется плотностью вероятности [1,5]:

 

(1.8)

Знание плотности вероятности позволяет найти вероятность для любой области, в которой определена плотность.

Рис.1

 

На рис.1

представлен пример графического изображения плотности вероятности. Площадь заштрихованной полоски на рисунке равна вероятности dP(j) нахождения величины j в интервале [j; j+dj]. Площадь под всей кривой f(j) есть вероятность нахождения величины j в интервале [j₀;j₁], которая всегда постоянна, равна 1 или 100% и определяет условие нормировки плотности вероятности.

(1.9)

Часто условие нормировки записывают для интервала значений j [0, ∞) или (-∞, +∞), полагая, что за пределами конечного интервала [j₀,_,j₁] плотность вероятности равна нулю.

Условие нормировки вероятности дискретно изменяющейся переменной j, которая может принимать n различных значений j_i с соответствующей вероятностью P_i, записывается так:

(1.10)

Выражения (1.9) и (1.10) являются следствием теоремы сложения вероятностей для несовместных событий [1,4].

 

Условие нормировки есть математическая запись утверждения, что если физическая система существует, то она находится в каком-либо из доступных ей состояний, характеризующихся параметром j. Это событие является достоверным и его вероятность равна единице.