З а д а ч и. 1.1. В сосуде находятся 5 молекул газа

1.1. В сосуде находятся 5 молекул газа. Мысленно разобьем сосуд на две равные части. Каждая из молекул может находиться в выделенной половине объема или не находиться в ней. Рассмотреть "макроскопическое" состояние, когда m молекул газа находятся в выделенной половине сосуда, и найти число микроскопических состояний Г_m, с помощью которых оно реализуется. Принять m равным 0, 1, 2, 3, 4, 5. Определить также общее число микросостояний Г₀ и частоту реализации всех рассмотренных «макросостояний». Термин «макроскопическое состояние» здесь использован условно, поскольку в системе всего 5 частиц, и она, строго говоря, не является статистической. По этой же причине вместо «вероятность» употребляется термин «частота».

 

1.2. В системе из n частиц со спином 1/2 в отсутствии внешнего магнитного поля спин каждой частицы может быть равновероятно ориентирован либо вверх, либо вниз.

а) Найти вероятность P_n(m) реализации состояния, когда m спинов направлены вверх.

б) Построить гистограмму зависимости P(m) для n =6. Как будет изменяться вид распределения P(m) при увеличении чисел n и m? Чему равно наивероятнейшее значение m?

 

1.3. Состояние системы характеризуется случайной величиной x с известным распределением вероятности:

а) б)

в) г)

Найти нормировочную константу А для каждого случая. Построить соответствующие графики плотности вероятности.

 

1.4. Проверить выполнение условия нормировки вероятности в задаче 1.1.

 

1.5. Представим себе тонкую медную проволоку, натянутую вдоль оси Х. Несколько атомов меди, расположенных вблизи х =0, сделали "мечеными" (радиоактивными). При увеличении температуры нити подвижность атомов возрастает. При этом каждый атом может перескочить на соседнее место в кристаллической решетке либо направо, либо налево. Параметр решетки равен l.

Предположим, что в момент времени t =0 температура нити быстро возрастает до некоторого большого значения и в дальнейшем остается неизменной, т.е. до момента t =0 атомы "не прыгали", а покоились в узлах решетки, в том числе и "меченые" атомы в окрестности x =0.

Вероятность того, что радиоактивный атом будет обнаружен по истечении времени t при условии, что t>>t (t - время нахождения атома в узлах решетки), в интервале [x, x+dx] определяется плотностью вероятности f(x), dP(x) = f(x)dx. Изобразить на графике примерный ход плотности вероятности в зависимости от x, исходя из соображений симметрии и условия нормировки, для следующих трех случаев:

а) вскоре после t =0,

б) по прошествии относительно большого времени t,

в) по прошествии очень большого времени t.

 

О т в е т ы

1.1. Г_m =1; 5; 10; 10; 5; 1. Г₀ = 32.

1.2. а) P_n(m) =

б)

С ростом числа частиц в системе n гистограмма переходит в график непрерывного распределения вероятности. Кривая представляет собой очень высокий и узкий пик, максимум которого находится при m_н = n /2.

 

1.3. а) б) А=2; в) г)

1.5. Площади под кривыми f(x) во всех случаях одинаковы и равны единице. Это условие нормировки плотности вероятности.