Семинар 3. Биномиальное распределение

Если случайное событие имеет только два исхода, причем вероятность реализации p одного из исходов в единичном испытании постоянна, то распределение вероятностей называется биномиальным. Условие нормировки в этом случае отражает альтернативный характер исхода: p + q = 1, где q – вероятность того, что событие не произошло. Биномиальное распределение отвечает на вопрос: какова вероятность реализации m определенных исходов в n независимых испытаниях при известном значении p? В статистике этот вопрос часто формулируется так: Какова вероятность обнаружить у m объектов (частиц) из n определенный признак?

Биномиальное распределение справедливо для описания случайных событий, имеющих две возможности исхода, в различных областях повседневной жизни, медицине, науке:

производстве и имеет следующее математическое выражение:

, (3.1)

где – число способов, которыми можно выбрать m различных предметов из n различных предметов (число сочетаний).

Для расчета среднего значения m и дисперсии необходимо вычислить <m^k>;, где k = 1, 2 согласно (2.3). В силу трудоемкости вычислений подобного рода, процедура суммирования заменяется эквивалентной по результату, но более простой по форме дифференциальной процедурой:

. (3.2)

Существуют два важнейших предельных случая биномиального распределения.

Распределение Гаусса (другое его название - нормальное распределение). При и p = const, распределение плотности вероятности имеет вид

. (3.3)

В этом предельном случае m является непрерывно изменяющейся величиной (ámñ;>>1). Примерами нормального распределения являются: закон ошибок в метрологии, распределение попаданий в мишень (прицельная стрельба), распределение молекул по компонентам скорости в состоянии теплового равновесия.

Распределение Пуассона (закон редких событий).

При и np = const (p<<1)

(3.4)

Распределение Пуассона описывает вероятности редких событий, когда невелико по сравнению с 1. Такими событиями могут быть технические катастрофы, биологические мутации, молекулярное истечение - эффузия, вылет частиц при радиоактивном распаде ядра. Расчет флуктуаций в этом предельном случае упрощается:

. (3.5)