Семинар 7. Распределение Больцмана

Если идеальный газ находится в силовом поле, то его состояние может быть нестационарным, неравновесным. Тогда распределение Гиббса для него неприменимо. Только некоторые потенциальные поля приводят молекулярную систему к тепловому равновесию и стационарному распределению частиц в пространстве. Такими полями являются однородное гравитационное поле, поле центробежных сил и электростатическое поле. В этих трех случаях распределение Гиббса применимо. Т.к. потенциальная энергия частицы не зависит от ее скорости, а кинетическая энергия не зависит от координаты частицы, то можно рассматривать распределение по скоростям и по координатам отдельно. Распределение частиц по скоростям описывается распределением Максвелла, а пространственное распределение частиц описывается распределением Больцмана. В общем случае, если потенциальная энергия частицы зависит от трех координат - , то распределение Больцмана имеет следующий вид:

(7.1).

В однородном гравитационном поле(g=const) потенциальная энергия частицы равна и распределение Больцмана записывается:

. (7.2)

На основании того, что , из (7.2) получается выражение для пространственной концентрации частиц как функции от высоты z:

, (7.3)

где – концентрация частиц на высоте z, -концентрация на высоте, где потенциальная энергия равна нулю, – молярная масса газа, R=8,314 Дж/(моль×К) (универсальная газовая постоянная). Выражение для может быть получено из условия сохранения количества частиц в газовом столбе высотой Н и площадью сечения S =1 :

,

. (7.4)

В поле центробежных сил, например, во вращающейся с угловой скоростью центрифуге, – потенциальная энергия молекулы зависит от ее удаленности r от оси вращения. В этом случае пространственная концентрация определяется следующим образом:

, (7.5)

где – концентрация частиц на оси вращающегося цилиндра. Значение этой величины можно получить из условия сохранения полного числа частиц в объеме цилиндра радиуса R и высоты H.

. (7.6)

Так как , то выражение (7.6) примет вид

, (7.7)

отсюда получается выражение для :

. (7.8)