Решение. Очевидно, при всех допустимых значениях и .

Очевидно, при всех допустимых значениях и .

Равенство достигается, когда оба слагаемых одновременно равны нулю, т.е. когда и являются решением системы ; ; ; ;

.

Ответ: 0; при , .

2. Уравнения и системы уравнений..

 

2.3. Решите уравнение .

Решение. ;

;

;

или ;

или ;

или .

Ответ: -3;

2.6. Решите уравнение .

Решение. Пусть , тогда ; или .

Вернемся к старой переменной.

1) ; или .

2) - корней нет.

Ответ:

 

2.8. Решите уравнение .

Решение. ;

1 способ. .

; ; ;

или . Оба корня удовлетворяют неравенству системы.

Ответ: -3; .

2 способ. О.О.У.

и

.

На области определения имеем

;

;

;

; или . Оба значения входят в область определения уравнения.

Ответ: -3; .

3 способ. ;

;

;

; или .

Проверка: 1) ; ; ; - верно, значит - корень уравнения.

2) ; ; -верно, значит -3- корень уравнения.

Ответ: -3; .

 

2.21. Вычислите координаты точек пересечения парабол и .

Решение. Абсциссы точек пересечения парабол являются корнями уравнения ; ; ; .

Если , то .

Если , то .

Значит, параболы имеют две точки пересечения, координаты которых и .

Ответ: ; .

 

2.22. Решите уравнение .

Решение. .

1) Так как 1-25+60-36=0, то 1 – корень исходного уравнения.

.

2) .

Так как - верно, то 2 – корень этого уравнения.

.

3) ; или .

Ответ:-6; 1; 2; 3.

2.30. Найдите все целые значения , при которых уравнение имеет два корня.

Решение. При имеем ; - это уравнение имеет один корень.

При исходное уравнение квадратное. Оно имеет два корня тогда и только тогда, когда . .

Решим систему ; ; ; ; ; .

Это множество содержит четыре целых числа: -2; -1; 1; 2.

Ответ: -2; -1; 1; 2.

 

2.31. При каком значении уравнение имеет два корня? Найдите эти корни.

Решение. ; ; или .

Исходное уравнение может иметь два корня в двух случаях.

1) Уравнение имеет один корень, отличный от нуля, т.е. если - полный квадрат, значит, . . Тогда .

2) Один из корней уравнения равен нулю, а другой отличен от нуля, значит, . ; ; или .

Ответ: 0 и -3 при ;

0 и -6 при .

 

2.32. При каких значениях уравнение имеет корни?

Решение. 1 способ. ; . Это квадратное уравнение имеет корни, если .

.

при , т.е. .

Ответ: при всех .

2 способ. ;

;

.

Это уравнение имеет корни при , т. е. при .

Ответ: при всех .

 

2.41. Решите систему уравнений .

Решение. Данная система является симметричной системой четвертой степени, значит, она имеет не более четырех решений. Очевидно, решениями являются следующие пары чисел ; ; ; .

Ответ: ; ; ; .

 

2.50. Решите систему уравнений .

Решение. Система из двух первых уравнений имеет единственное решение, т.к. коэффициенты при неизвестных непропорциональны. Если это решение удовлетворяет третьему уравнению, то оно и есть решение исходной системы. Если это решение не удовлетворяет третьему уравнению, то система решений не имеет.

1) ; ; ; ; .

2) - неверно, значит, исходная система решений не имеет.

Ответ: решений нет.

 

2.59. При каких значениях один корень квадратного уравнения больше , а другой меньше ?

Решение. Рассмотрим функцию , графиком которой является парабола. Так как старший коэффициент положительный, то ветви параболы направлены вверх. По условию задачи корни лежат по разные стороны от числа , значит, , т.е. ; ; ; ; ; или .

 

.

Ответ: .

 

2.60. При каких значениях уравнение имеет два различных положительных корня?

Решение. Данное квадратное уравнение имеет два различных корня и , если (). Поскольку , а , то положительными корни будут, если . Значит, условию задачи удовлетворяют все решения системы ; .

 

 

Ответ: при всех .

 

2.62. Докажите, что уравнение не имеет корней.

Доказательство.Преобразуем левую часть данного уравнения. Равенство достигается только, если имеет решения система. Так как эта система решений не имеет, то выражение в левой части уравнения при любых значениях больше 1. Следовательно, исходное уравнение корней не имеет, ч.т.д.

 

2.63. Докажите, что число 1 является корнем уравнения и других корней у этого уравнения нет.

Доказательство.1 способ.. Обозначим, тогда и уравнение примет вид;; или. Значит, или. Первое уравнение имеет единственный корень, равный 1. Второе уравнение корней не имеет. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень, который равен 1, ч.т.д.

2 способ. При имеем ; - верно, значит 1 – корень уравнения.

Пусть , тогда

, значит при исходное уравнение корней не имеет. Следовательно, - единственный корень, ч.т.д.

 

2.71. Решите систему уравнений .

Решение. ; ; .

- квадратное уравнение относительно , решая его, получаем или .

1) ; ; ; - решений нет.

2) ; - симметричная система второй степени, которая имеет не более двух решений. Очевидно, это пары чисел и .

Ответ: ; .

 

2.74. При каких значениях система имеет единственное решение?

Решение. ; ; ; . Система имеет единственное решение, если у второго уравнения системы дискриминант равен нулю. .

; .

Ответ: при или .

 

2.77. Решите систему уравнений .

Решение. 1 способ. ; ; ; ; ; .

Ответ:

2 способ. Сложив все четыре уравнения системы, получим уравнение , т.е. . Вычитая почленно из него каждое из уравнений данной системы, последовательно получаем

Ответ: