Координаты и графики.
5.4. Прямая Решение. Первая часть задачи:
1 способ. Так как точки
значит уравнение искомой прямой имеет вид
2 способ. Так как прямая Так как точки
Вторая часть задачи: Вообще говоря, если учащийся 9-го класса нарисовал график функции и на этом основании сделал вывод, что соответствующая прямая не содержит точек II четверти, то данная задача оценивается полным баллом. С другой стороны, ссылка на график без соответствующих пояснений всегда вызывает некоторые сомнения. Приведем одно из возможных решений, не содержащее подобных ссылок.
Прямая не содержит точек II четверти. Действительно. Предположим, что точка Ответ: 5.14. Выясните, лежат ли на одной прямой точки Решение. 1 способ. Найдем уравнение прямой ;;;. Значит уравнение имеет вид
Ответ: точки
2 способ. Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки
Ответ: точки
5.24. Прямая проходит через точку Решение. 1 способ. Так как прямая проходит через точку
Значит эта прямая задается уравнением
Ответ:
2 способ. Известно, что любая касательная, проведенная к гиперболе, отсекает от осей координат – треугольник постоянной площади. Т.к. координаты вершины гиперболы Ответ: 5.34. При каких значениях Решение. 1 способ. Ордината вершины параболы 1. Если 2. Если Вершины расположены по разные стороны от оси
Ответ:
2 способ. Очевидно, при любом
Ответ:
5.36. Найдите все значения Решение. 1 способ. Координаты точки пересечения прямых являются решением системы
Чтобы точка с координатами
Ответ:
2 способ. Изобразим схематически графики функций:
Из рисунка видно, что для того чтобы графики соответствующих функций пересекались в I четверти, должно выполняться неравенство
Ответ:
5.39. При каких значениях Решение. Найдем координаты точек пересечения прямой
Значит Тогда
Ответ: при
5.40. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению Решение. Так как
|
пересекает ось 
в точке 
и проходит через точку 
. Запишите уравнение этой прямой. В какой координатной четверти нет точек этой прямой?
; 
; 
; 
,
.
в точке 
.
. Значит уравнение искомой прямой имеет вид 
, принадлежащая графику функции 
, 
и 
- верное числовое равенство. Тогда 
, т.е. 
. Полученное противоречие показывает, что предположение не верно, т.е. данная прямая не содержит точек II четверти. Ч.т.д.
, 
и 
.
, проходящей через точки 
. Выясним, принадлежит ли этой прямой точка 
. Т.к. 
, 
- неверное числовое равенство, то точка 
и 
, т.е. эти три точки не лежат на одной прямой.
не лежат на одной прямой.
. Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки 
. Т.к. 
, то точки 
и касается гиперболы 
. В какой точке эта прямая пересекает ось абсцисс?
; а т.к. она касается гиперболы 
имеет единственное решение, причем 
.
; 
; 
; 
.
. Абсцисса точки пересечения этой прямой удовлетворяет уравнению 
; 
.
.
, то площадь треугольника равна 
. Абсцисса искомой точки находится из уравнения 
, т.е. 
вершины парабол 
и 
расположены по разные стороны от оси 
?
вычисляется по формуле 
.
.
.
, если их ординаты имеют разные знаки, т.е. 
, т.е. 
; 
.
.
имеет два корня (разных знаков). Значит, вершина соответствующей параболы лежит в нижней полуплоскости. Вершина параболы 
будет лежать в верхней полуплоскости тогда и только тогда, когда уравнение 
имеет два корня, т.е. если его дискриминант положителен. 
; 
; 
, при которых точка пересечения прямых 
и 
находится в первой координатной четверти?
; 
; 
; 
.
; 
; 
.
лежала в I четверти, должны выполняться условия: 
; 
; 
; 
.
; 
.
образует с осями координат треугольник, площадь которого равна 
?
: 
; 
; 
; 
; 
.
, т.е. 
или 
.
.
, т.е. 
, откуда 
. Значит либо 
, либо 
. Каждое из этих уравнений является уравнением прямой: 
или 
.
