Арифметическая и геометрическая прогрессии.

6.1. Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.

Решение. 1 способ. Из условия задачи следует, что ; .

Значит, .

Так как , то .

Ответ: .

2 способ. Из свойств арифметической прогрессии следует, что . Значит, ; ; ; .

Ответ: .

 

6.3. Первый член арифметической прогрессии равен 6, а ее разность равна 4.Начиная с какого номера члены этой прогрессии больше 260?

Решение. Так как , то для решения задачи достаточно найти наименьшее натуральное n, при котором верно неравенство ; ; ; .

Наименьшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 65.

Ответ: .

 

6.6. Найдите сумму всех последовательных натуральных чисел с 60 до 110 включительно.

Решение. Сумму 60+61+…+110 естественно рассматривать как сумму 51 члена арифметической прогрессии с и . Тогда .

Ответ:4335.

 

6.8. В геометрической прогрессии и . Найдите .

Решение. Из условия задачи следует, что ; . Значит , т.е. или . Если , то . Если , то .

Ответ: или .

 

6.14. Существует ли арифметическая прогрессия, в которой , и ?

Решение. Предположим, что данная прогрессия существует.

Так как ; , то .

Так как ; , то .

Т. е. - противоречие, следовательно, предположение неверно. Требуемой прогрессии не существует.

Ответ: не существует.

 

6.22. Существует ли геометрическая прогрессия, в которой, , и ?

Решение. 1 способ. Очевидно, геометрическая прогрессия с и существует. Если , , то , .

Так как - верное числовое равенство, то 192 является седьмым членом этой прогрессии. Значит, геометрическая прогрессия, удовлетворяющая условию задачи, существует.

Ответ: существует.

2 способ. Да, существует. Например, геометрическая прогрессия, у которой и . Действительно, ; ; .

Ответ: существует.

 

6.28. Найдите сумму первых 20 совпадающих членов двух арифметических прогрессий:

3, 8, 13,… и 4, 11, 18,….

Решение. Совпадающие члены данных прогрессий также образуют арифметическую прогрессию. Выписав несколько первых членов этих прогрессий: 3; 8; 13; 18; 23;… и

4; 11; 18; 25;…, находим, что первый член новой прогрессии равен 18. Так как разность первой прогрессии равна 5, а второй – 7, а 5 и 7 – взаимно простые числа, то разность новой прогрессии равна 35. Итак, следует найти сумму 20 членов арифметической прогрессии, у которой ; ; .

Ответ: 7010.

 

6.29. Решите уравнение .

Решение. Выражение, стоящее в левой части уравнения, естественно рассматривать как сумму сорока членов арифметической прогрессии с и .

Эта сумма равна . Таким образом исходное уравнение принимает вид , откуда ; .

Ответ: 1.

6.30. Решите уравнение .

Решение. Из условия задачи следует, что - натуральное число. Каждое слагаемое в левой части уравнения содержит общий множитель . Вынося его за скобку, получим . Выражение в скобках естественно считать суммой первых членов арифметической прогрессии, у которой ; ; (или ; ; ). Эта сумма равна . Таким образом, уравнение принимает вид ; ; ; .

Ответ: 19.

 

6.33. Сколько существует натуральных трехзначных чисел, которые делятся только на одно из чисел 4 или 5?

Решение. Из условия задачи следует, что искомые числа - это трехзначные числа, делящиеся либо на 4, либо на 5, но при этом не делящиеся на 20. Первые числа: 100; 104;…;996. Их количество . Вторые числа: 100; 105;…;995. Их количество . Трехзначные числа, делящиеся на 20: 100; 120;…; 980. Их количество . Заметим, что числа, делящиеся на 20, содержатся и в первой, и во второй группе. Следовательно, количество искомых чисел равно (225-45)+(180-45)=315.

Ответ: 315.

 

6.35. В арифметической прогрессии среднее арифметическое первых десяти ее членов равно 20. Найдите первый член и разность этой прогрессии, если известно, что они являются числами натуральными.

Решение. Из условия задачи следует, что ; ; . Так как и - натуральные, то - четное.

При имеем ; .

При имеем ; .

При не будет натуральным числом. Следовательно, либо

, либо , .

Ответ: , или , .