Арифметическая и геометрическая прогрессии.
6.1. Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии. Решение. 1 способ. Из условия задачи следует, что Значит, Так как Ответ: 2 способ. Из свойств арифметической прогрессии следует, что Ответ:
6.3. Первый член арифметической прогрессии равен 6, а ее разность равна 4.Начиная с какого номера члены этой прогрессии больше 260? Решение. Так как Наименьшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 65. Ответ:
6.6. Найдите сумму всех последовательных натуральных чисел с 60 до 110 включительно. Решение. Сумму 60+61+…+110 естественно рассматривать как сумму 51 члена арифметической прогрессии с Ответ:4335.
6.8. В геометрической прогрессии Решение. Из условия задачи следует, что Ответ:
6.14. Существует ли арифметическая прогрессия, в которой Решение. Предположим, что данная прогрессия существует. Так как Так как Т. е. Ответ: не существует.
6.22. Существует ли геометрическая прогрессия, в которой, Решение. 1 способ. Очевидно, геометрическая прогрессия с Так как Ответ: существует. 2 способ. Да, существует. Например, геометрическая прогрессия, у которой Ответ: существует.
6.28. Найдите сумму первых 20 совпадающих членов двух арифметических прогрессий: 3, 8, 13,… и 4, 11, 18,…. Решение. Совпадающие члены данных прогрессий также образуют арифметическую прогрессию. Выписав несколько первых членов этих прогрессий: 3; 8; 13; 18; 23;… и 4; 11; 18; 25;…, находим, что первый член новой прогрессии равен 18. Так как разность первой прогрессии равна 5, а второй – 7, а 5 и 7 – взаимно простые числа, то разность новой прогрессии равна 35. Итак, следует найти сумму 20 членов арифметической прогрессии, у которой Ответ: 7010.
6.29. Решите уравнение Решение. Выражение, стоящее в левой части уравнения, естественно рассматривать как сумму сорока членов арифметической прогрессии с Эта сумма равна Ответ: 1. 6.30. Решите уравнение Решение. Из условия задачи следует, что Ответ: 19.
6.33. Сколько существует натуральных трехзначных чисел, которые делятся только на одно из чисел 4 или 5? Решение. Из условия задачи следует, что искомые числа - это трехзначные числа, делящиеся либо на 4, либо на 5, но при этом не делящиеся на 20. Первые числа: 100; 104;…;996. Их количество Ответ: 315.
6.35. В арифметической прогрессии среднее арифметическое первых десяти ее членов равно 20. Найдите первый член и разность этой прогрессии, если известно, что они являются числами натуральными. Решение. Из условия задачи следует, что При При При
Ответ:
|
; 
.
.
, то 
.
.
. Значит, 
; 
; 
; 
, то для решения задачи достаточно найти наименьшее натуральное n, при котором верно неравенство 
; 
; 
; 
.
.
и 
. Тогда 
.
и 
. Найдите 
.
; 
. Значит 
, т.е. 
или 
. Если 
. Если 
.
или 
.
, 
и 
?
.
.
- противоречие, следовательно, предположение неверно. Требуемой прогрессии не существует.
, 
и 
?
, 
.
- верное числовое равенство, то 192 является седьмым членом этой прогрессии. Значит, геометрическая прогрессия, удовлетворяющая условию задачи, существует.
и 
; 
; 
.
; 
; 
.
.
и 
.
. Таким образом исходное уравнение принимает вид 
, откуда 
; 
.
.
- натуральное число. Каждое слагаемое в левой части уравнения содержит общий множитель 
. Вынося его за скобку, получим 
. Выражение в скобках естественно считать суммой 
; 
; 
(или 
; 
). Эта сумма равна 
. Таким образом, уравнение принимает вид 
; 
; 
; 
.
. Вторые числа: 100; 105;…;995. Их количество 
. Трехзначные числа, делящиеся на 20: 100; 120;…; 980. Их количество 
. Заметим, что числа, делящиеся на 20, содержатся и в первой, и во второй группе. Следовательно, количество искомых чисел равно (225-45)+(180-45)=315.
; 
; 
. Так как 
и 
- натуральные, то 
имеем 
; 
.
; 
.
