Функции. 4.4.Постройте график функции .Укажите наибольшее значение этойфункции.

4.4. Постройте график функции . Укажите наибольшее значение этойфункции.

Решение. 1) График функции - парабола.

1. Ветви направлены вниз.

2. ; ; - вершина параболы.

3. : . Так как , то график не пересекает ось .

4. : ; - точка пересечения с осью .

5. Если , то ; ;

.

 

2) Наибольшее значение функции достигается при и равно -1.

 

4.13. Постройте график функции . При каких значениях значения функции положительны?

Решение. 1) Так как , то .

Область определения функции – множество . На указанной области определения данная функция может быть задана формулой .

Построим график функции и исключим из него точку с абсциссой .

График функции - парабола, ветви которой направлены вверх.

: ; или ; ; .

; ; .

: .

; ;

; .

Следовательно, график искомой функции выглядит так, как показано на рисунке.

 

2) Функция принимает положительные значения на множестве .

 

 

4.22. Постройте график функции , где .

При каких значениях прямая имеет с графиком этой функции две общие точки?

Решение. а) На множестве функция задана формулой . Построим график функции и исключим из него точки, абсциссы которых больше 1.

1. График – парабола, ветви которой направлены вниз.

2. : ; или ; ; .

3. ; ; .

4. : ; .

5. ; .

 

 

б) На множестве функция задана формулой . Построим график функции и оставим только те точки, абсциссы которых больше 1.

1 способ.

1. График – парабола, ветви которой направлены вверх.

2. : ; или ; ; .

3. ; ; .

4. : ; .

5. ; .

 

 

2 способ. Так как , то график функции симметричен графику функции относительно оси . Воспользовавшись симметрией, построим график функции и оставим только те точки, абсциссы которых больше 1.

 

 

Объединяя оба графика, получим график искомой функции.

 

 

в) Прямая имеет с графиком данной функции две общие точки при и .

 

 

4.25. Постройте график функции .

Решение. Так как ,

,

, то .

Область определения функции найдем из условия , т. е. и . Значит, множество является областью определения.

На этом множестве функция задается формулой .

Построим график функции и исключим из него точки с абсциссами и .

График функции – парабола, ветви которой направлены вверх.

: ; .

; ; .

: ; .

; .

 

4.28. Задайте аналитически функцию, график которой изображен на рисунке

 

Решение. 1 способ. На промежутке функция линейная, значит, задается формулой . Так как ее график проходит через точки и , то коэффициенты и найдем, решив систему ; ; .

Следовательно, на промежутке функция задается формулой .

На промежутке функция также является линейной, значит, тоже задается формулой . Так как ее график проходит через точки и , то и найдем из системы ; ; ; . Следовательно, на промежутке функция задается формулой .

Таким образом, изображенная на рисунке функция, задается аналитически следующим образом .

2 способ. На каждом из промежутков и функция является линейной, а значит, задается формулой . Точки , , лежат на графике функции, значит, коэффициенты и можно найти следующим образом.

1) Если , то , тогда ; . Следовательно, .

2) Если , то , тогда ; . Следовательно, .

Итак, формула, задающая функцию, имеет вид .

Ответ: .

 

4.35. Найдите наибольшее значение функции . При каком значении аргумента оно достигается?

 

Решение. 1 способ. Обозначим . Рассмотрим функцию , где и найдем ее наибольше значение на . На функция квадратичная, причем коэффициент при меньше нуля. Значит наибольшее значение она достигает при , т.е. при , которое равно . Так как , то наибольшее значение функции , где также равно , а значит и наибольшее значение функции равно , которое достигается при , т.е. при .

 

Ответ: наибольшее значение равно при .

 

2 способ. Область определения функции . На этом множестве . Равенство достигается при , т.е. при . Следовательно, наибольшее значение данной функции равно .

 

Ответ:наибольшее значение равно при .

 

 

4.36 Найдите наибольшее значение функции .

Решение. 1 способ. Рассмотрим уравнение и найдем все значения , при которых оно имеет, по крайней мере, одно решение.

; ; ; .

При уравнение корней не имеет.

При . Последнее уравнение имеет корни при , т.е. при . Значит наибольшее значение функции равно .

 

Ответ: .

 

2 способ. Рассмотрим выражение .

.

Дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя, которое равно при . Следовательно, наибольшее значение дроби равно , значит наибольшее значение выражения , а значит, и наибольшее значение функции равно при .

 

Ответ: .