I. Линейная алгебра

Лекция № 1. § 1. Матрицы.

Определение: Матрица – это прямоугольная таблица чисел из m строк и n столбцов.

.

Сокращенная запись матрицы А: или , где - номер строки, - номер столбца, m – число строк матрицы, n – число ее столбцов. Числа m и n называются размерностями матрицы. Матрицу А называют матрицей размерности .

Величины, из которых состоит эта таблица, называются элементами матрицы и обозначаются той же буквой, только строчной, что и матрица, с указанием номера строки (первый индекс) и номера столбца (второй индекс).

Матрицы одинакового размера равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц.

Определение: Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

- квадратная матрица.

Квадратную матрицу размера называют матрицей n – го порядка.

Определение:Совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называют главной диагональю, а на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым нижним, - побочной диагональю.

Определение:Две матрицы считаются равными, если размеры матриц (число строк и столбцов) одинаковы и равны элементы, лежащие на пересечении соответствующих строк и столбцов, то есть когда при любых i, j.

Определение: Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

- диагональная матрица.

Определение: Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной.

- единичная матрица.

Определение: Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

- треугольная матрица.

Определение: Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

- нулевая матрица.

Определение: Матрица-строка (матрица-столбец) - матрица состоящая только из одной строки (столбца):

- матрица – строка.

- матрица – столбец.

Определение: Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной.

- транспонированная матрица к данной.