Центральная предельная теорема

Вторая группа предельных теорем исследует предельные законы распределения случайной величины. Эта группа теорем носит название «центральной предельной теоремы». Различные её формы посвящены установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Иногда эту теорему называют законом ошибок, так как именно в теории ошибок измерений нормальный закон впервые был обоснован П.С. Лапласом и К.Ф. Гауссом.

Ошибки физических измерений, астрономических наблюдений, ошибки измерений в биологии, демографии, как правило, распределяются нормально. Дело в том, что такие ошибки являются обычно суммой большого числа мелких ошибок, каждая из которых, взятая в отдельности, не оказывает решающего влияния на суммарную ошибку. Именно такая ситуация рассматривается в центральной предельной теореме, доказанной А.М. Ляпуновым.

Теорема Ляпунова. Если независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание ; дисперсия ; абсолютный центральный момент третьего порядка и

, (5.16)

то закон распределения суммы при неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием и дисперсией .

Условие (5.16) обеспечивает ничтожное влияние каждой из случайных величин на его сумму. Теорему принимаем без доказательства.

Неограниченное приближение закона распределения суммы к нормальному закону при в соответствии со свойствами нормального закона означает, что

( 5.17)

где – функция Лапласа ( 2.39 ).

В качестве следствия из этой теоремы можно получить теорему Муавра –Лапласа о сходимости биноминального распределения к нормальному.

Теорема Муавра – Лапласа. Пусть случайные величины, фигурирующие в теореме Ляпунова, одинаково распределены, дискретны и принимают только два возможных значения 1 и 0 с вероятностями p и q= 1– p. Как и в теореме Бернулли, будем считать, что X_i – это число появлений события A в i- мопыте . Тогда число появлений события A в n опытах равно . По теореме Ляпунова закон распределения Y при приближается к нормальному, т.е.

.

Вероятность попадания Y в интервал выражается через функцию Лапласа

. (5.18)

Значения a и легко вычисляются;

; (5.19)

. (5.20)

Итак, если проводится n независимых опытов, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p, то для любого интервала справедливо соотношение:

. (5.21)

Пример 2. Завод выпускает 90 % изделий первого сорта и
10 % изделия второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Найти вероятность того, что число изделий первого сорта окажется в пределах от 900 до 940.

Р е ш е н и е. Вероятность выбора изделия первого сорта p = 0,3, число опытов n= 1000. Следовательно, np = 900, npq = 90. Применяя формулу (5.21), получим

Пример 3. Для космического корабля вероятность столкновения в течение часа с метеоритом равна 0,001. Найти практически достоверные границы числа столкновений с метеоритом в течение трех месяцев – с 1 июля по 31 августа, если вероятность практической достоверности принимается равной 0,9995.

Р е ш е н и е. Количество опытов n = 24∙92 = 2 206 (часов), в течение каждого часа вероятность столкновения p= 0,001 => q = = 1 –p = 0,999. Число столкновений Y – величина, распределенная нормально с и . По теореме Муавра – Лапласа:

,

откуда .

Следовательно, число столкновений

, т.е. .

Таким образом, число столкновений космического корабля с метеоритом в течение трех месяцев составляет до 7 раз.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается сущность закона больших чисел?

2. Как записывается неравенство Чебышева?

3. Какое практическое и теоретическое значение имеет правило Чебышева?

4. Сформулируйте и докажите теорему Чебышева.

5. Сформулируйте и докажите обобщенную теорему Чебышева.

6. Какое практическое значение имеют теоремы Чебышева?

7. Сформулируйте и докажите теорему Бернулли.

8. Как формулируется теорема Пуассона?

9. В чем заключается сущность центральной предельной теоремы?

10. Сформулируйте и докажите теорему Ляпунова.

11. Сформулируйте теорему Муавра – Лапласа.

12. Приведите примеры задач, при решении которых применяется теорема Муавра – Лапласа.