Студопедия — Неравенство Чебышева. Великий русский математик, академик П.Л
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Неравенство Чебышева. Великий русский математик, академик П.Л






Великий русский математик, академик П.Л. Чебышев в 1846 г. вывел простое неравенство, позволяющее доказать закон больших чисел в самой общей форме.

Рассмотрим случайную величину X, математическое ожидание которой и дисперсия .

Неравенство Чебышева утверждает: вероятность того, что отклонение случайной величины X от её математического ожидания будет по абсолютной величине не менее любого числа > 0, ограничено сверху величиной , т.е.

(5.1)

Доказательство. 1. Пусть случайная величина X дискретная с рядом распределения

X x 1 x 2
.
xn

p p 2 pn

 

Тогда дисперсия случайной величины X

. (5.2)

Все слагаемые этой суммы неотрицательны. Отбросим все слагаемые, у которых , вследствие чего сумма (5.2) может только уменьшиться:

, (5.3)

т.е. суммирование распространяется только на значения i, для которых отклоняется от математического ожидания на величину не меньше чем ε.

Заменим в формуле (5.3) выражение через ε, от такой замены сумма только уменьшится:

, (5.4)

так как

.

Подставляя в формулу (5.4) данное выражение, получим

.

Откуда непосредственно вытекает неравенство (5.1).

2. Пусть теперь случайная величина X непрерывна с плотностью распределения . Тогда

. (5.5)

Возможные значения случайной величины принадлежат всей числовой оси. Выделим на числовой оси вправо и влево от математического ожидания отрезки длиной ε (рис. 5.1)

ε ε

 
 

 


A а B

Рис. 5.1

Если в выражении (5.5) интеграл по всей оси ОХ заменим интегралом по области, лежащей вне отрезка АВ, то величина интеграла при этом может только уменьшиться, поскольку под интегралом стоит неотрицательная функция, т.е.

. (5.6)

Заменяя под интегралом (5.6) через ε, снова можем только уменьшить величину интеграла.

. (5.7)

Так как

,

то неравенство (5.7) принимает вид:

. (5.8)

Здесь знак заменен знаком >, так как для непрерывной случайной величины вероятность точного равенства равна нулю.

Неравенство Чебышева может быть записано и в другой форме, применительно к противоположному событию:

. (5.9)

Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, так как дает грубую оценку. Это неравенство полезно лишь при относительно больших ε. Теоретическое же значение очень велико.







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 473. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Йодометрия. Характеристика метода Метод йодометрии основан на ОВ-реакциях, связанных с превращением I2 в ионы I- и обратно...

Броматометрия и бромометрия Броматометрический метод основан на окислении вос­становителей броматом калия в кислой среде...

Метод Фольгарда (роданометрия или тиоцианатометрия) Метод Фольгарда основан на применении в качестве осадителя титрованного раствора, содержащего роданид-ионы SCN...

Интуитивное мышление Мышление — это пси­хический процесс, обеспечивающий познание сущности предме­тов и явлений и самого субъекта...

Объект, субъект, предмет, цели и задачи управления персоналом Социальная система организации делится на две основные подсистемы: управляющую и управляемую...

Законы Генри, Дальтона, Сеченова. Применение этих законов при лечении кессонной болезни, лечении в барокамере и исследовании электролитного состава крови Закон Генри: Количество газа, растворенного при данной температуре в определенном объеме жидкости, при равновесии прямо пропорциональны давлению газа...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия