Теорема Чебышева

Пусть – последовательность попарно независимых случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и ограниченными дисперсиями, т.е.

;

.

Введем новую случайную величину:

. (5.10)

Теорема Чебышева. При неограниченном увеличении числа наблюдаемых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины, имеющей конечную дисперсию, сходится по вероятности к её математическому ожиданию, т.е.

. (5.11)

Доказательство. Найдем числовые характеристики случайной величины . Пользуясь свойствами числовых характеристик, получим:

;

.

Применим теперь неравенство Чебышева в виде формулы (5.3) к случайной величине :

. (5.12)

Подставляя в формулу (5.11), получим

.

В пределе при величина стремится к нулю, и, следовательно, получаем доказываемую формулу (5.11).

Определим смысл формулировки «сходимость по вероятности».

Пусть на некотором вероятностном пространстве заданы последовательность случайных величин и случайная величина X, т.е. . Последовательность сходится по вероятности к X, если для

или

Сходимость по вероятности отличается от сходимости в смысле обычного анализа. Разница между указанными видами сходимости состоит в следующем: если стремится при к X как к пределу в смысле обычного анализа, то, начиная с некоторого n = N и для последующих n, неуклонно выполняется неравенство ; если же стремится по вероятности к X при необязательно, что стремится при к при всех , более того может быть, что не стремится при к при всех . Сходимость по вероятности влечет за собой сходимость по распределению. Определим теперь понятие «сходимость по распределению». Эта сходимость называется также слабой сходимостью.

Пусть Говорят, что сходится к X по распределению при , если в каждой точке непрерывности .

Пример 1. Сколько надо провести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более чем на 1, если среднее квадратичное отклонение каждого из измерений не превосходит 5?

Р е ш е н и е. Пусть – результат i -го измерения ; a – истинное значение величины, т.е. .

Необходимо найти n, при котором , где по условию ε=1; . Используем формулу (5.12)

, откуда .

Ответ: потребуется не менее 500 измерений.

Теорема Чебышева может быть распространена на более общий случай, когда характеристики наблюдаемой случайной величины меняются от опыта к опыту. В этом случае имеет место следующая обобщенная теорема Чебышева: при неограниченном увеличении числа независимых испытаний над случайными величинами, имеющими ограниченные дисперсии, среднее арифметическое наблюдаемых значений сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий этих величин, т.е.

, (5.13)

где

; ,

причем , , С= const.

Доказательство теоремы нужно произвести самостоятельно.