Математическое ожидание функции случайных величин

Пусть , где X – дискретная случайная величина с возможными значениями и вероятностями , , тогда математическое ожидание случайной величины Y можно определить по формуле:

. (4.9)

Если X – непрерывная случайная величина, тогда

, (4.10)

где – плотность распределения случайной величины X.

Аналогично может быть определено математическое ожидание функции от двух случайных аргументов

.

Для дискретных случайных величин:

. (4.11)

Для непрерывных случайных величин:

, (4.12)

где – плотность распределения системы .

Теорема 1. Математическое ожидание суммы как зависимых, так и независимых двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

(4.13)

Теорема 2. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

(4.14)

Следствие. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

(4.15)

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины , если плотность распределения случайной величины X имеет вид:

Р е ш е н и е. По формуле (4.10) имеем:

Пример 2. Система равномерно распределена в круге радиуса r с центром в начале координат. Определить математическое ожидание случайной величины

Р е ш е н и е. Система распределена равномерно в области D – круге радиуса r, плотность ее распределения имеет вид:

По формуле (4.12)

Таким образом, искомое математическое ожидание равно 2/3 r.