Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения и условные числовые характеристики

При изучении системы случайных величин зависимость меж-
ду составляющими X и Y может быть более или менее тесной.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если

.

Для дискретных случайных величин X и Y это требование эквивалентно равенству

, (3.13)

где и , а для непрерывных случайных величин условие непрерывности равно

. (3.14)

Если случайные величины X и Y зависимы, то необходимо ввести понятие условного закона распределения и условной плотности распределения.

Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина, входящая в систему, приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Для двумерной дискретной случайной величины (X, Y), принимающей значения (, ) и с вероятностями , можно определить условную вероятность , пользуясь аксиомой умножения:

= ×

или

= ,

т.е.

= = . (3.15)

По аналогии

= . (3.16)

Для непрерывных случайных величин аналогичным образом определяется условная плотность распределения:

и . (3.17)

Условная плотность распределения обладает всеми свойствами безусловной плотности распределения.

В случае независимости случайных величин X и Y все условные плотности распределения совпадают с безусловными, т.е.

; .

И наоборот, различие условных и безусловных плотностей распределения означает зависимость случайных величин.

Для зависимых случайных величин вводятся понятия условных числовых характеристик.

Условное математическое ожидание в дискретном случае:

; .

Условное математическое ожидание в непрерывном случае:

; . (3.18)

Условная дисперсия в дискретном и непрерывном случае имеет вид:

;

. (3.19)

Из определения условных математических ожиданий следует, что – это функция от y, а – функция от x. Причем, если система случайных величин непрерывна, то функции и будут также непрерывными. Уравнения и называются уравнениями регрессии X по Y
и Y по X соответственно, а графическое их изображение на плоскости называется линиями регрессии.

В качестве количественной характеристики степени зависимости случайных величин X и Y часто используют коэффициент корреляции (см. формулу (3.12)), но он характеризует лишь степень линейной зависимости. Это следует из его свойств:

1)

2) если где a и b = const, то

3) если Х и Y независимы, то .

Пример 1. Плотность распределения системы случайных величин (X, Y) имеет вид:

Определить, зависимы или независимы составляющие X и Y.

Р е ш е н и е. Вычислим плотности распределения составляющих, используя формулы (3.9) и (3.10) при и

Таким образом,

Случайные величины X и Y независимы, так как выполняется условие (3.14):

Пример 2. Плотность распределения двухмерной случайной величины имеет вид:

Определить:

а) зависимы или независимы составляющие X и Y;

б) условные математические ожидания и условные дисперсии.

Р е ш е н и е. а) Плотность распределения составляющей X по формуле (3.9)

Аналогично для составляющей Y по формуле (3.10):

Очевидно, что условие (3.14) не выполняется. Таким образом, X и Y зависимы.

б) Найдем сначала условные плотности распределения и по формулам (3.17):

Найдем условные математические ожидания по формулам (3.18):

Аналогично

Найдем условную дисперсию по формуле (3.19):

Аналогично

Пример 3. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины задан табл. 3.3:

Таблица 3.3

X	Y
−1
	0,1	0,25	0,3	0,15
	0,1	0,05	0,0	0,05

 

Найти: а) закон распределения составляющих X и Y; б) условные законы распределения случайной величины X при условии Y = 2 и случайной величины Y при условии X = 1; в) вычислить

Р е ш е н и е. а) Случайная величина X может принять два значения: с вероятностями (складываем вероятности по строкам):

т.е. ее закон распределения представлен рядом распределения:

X		. 2
p	0,8	0,2

Контроль: 0,8+0,2=1.

Аналогично получаем закон распределения составляющей Y (складываем вероятности по столбцам):

Y	–1			. 2
p	0,2	0,3	0,3	0,2

Контроль: 0,2+0,3+0,3+0,2=1.

б) Условный закон распределения X при условии Y = 2 получим, если вероятности , стоящие в последнем столбце табл. 3.3, разделим на . Получим

X		. 2
p (X / Y = 2)	0,75	0,25

Контроль: 0,75 + 0,25 = 1.

Для получения условного закона распределения Y (при условии X = 1), вероятности , стоящие в первой строке табл. 3.3, делим на :

Y	–1			. 2
p (Y / X = 1)	0,125	0,3125	0,375	0,1875

Контроль: 0,125 + 0,3125 + 0,375 + 0,1875 = 1.

в) Для нахождения вероятностей складываем вероятности событий из табл. 3.3, для которых Получим:

,

т.е. складываем вероятности для значений (1,−1), (1,0), (2,−1), (2,1).