Плотность распределения системы двух случайных величин

Плотность распределения является исчерпывающей характеристикой системы непрерывных случайных величин, с помощью которой описание распределения системы становится более наглядным.

Пусть имеется система двух непрерывных случайных величин. Рассмотрим вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами и (рис. 3.2). Применяя формулу (3.3), получим:

.

Разделим полученную вероятность на площадь этого прямоугольника и перейдем к пределу при и :

. (3.4)

Предположим, что функция дважды дифференцируема, тогда правая часть формулы (3.4) представляет собой вторую смешанную производную функции . Обозначим эту производную :

. (3.5)

Функция называется плотностью распределения системы непрерывных случайных величин .

Геометрически плотность распределения системы двух случайных величин можно изобразить некоторой поверхностью (рис. 3.3), которую называют поверхностью распределения.

Рис. 3.2 Рис. 3.3

Имеют место следующие свойства:

1. Плотность распределения есть функция неотрицательная:

.

2. Двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения системы равен единице:

. (3.6)

3. Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины может быть выражена через ее плотность распределения формулой:

. (3.7)

4. Функция распределения случайных величин и , составляющих систему , может быть выражена формулами:

. (3.8)

5. Плотность распределения одномерных случайных величин X и Y, составляющих систему, можно выразить формулами:

; (3.9)

. (3.10)

6. Вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины в область D:

,

равна объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распределения и опирающегося на область D.