Функция распределения системы двух случайных величин

Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов , равная вероятности совместного выполнения двух неравенств и , т.е.

. (3.1)

Геометрически функция распределения системы двух случайных величин представляет собой вероятность попадания случайной точки (x, y) в левый нижний бесконечный квадрант плоскости (рис. 3.1) с вершиной в точке (X, Y) (заштрихованная область).

Для дискретной двумерной случайной величины функция распределения определяется по формуле:

. (3.2)

Отметим свойства функции распределения.

1. Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т.е.

.

2. Функция распределения есть неубывающая функция по каждому из аргументов, т.е.

при ;

при .

3. Если хотя бы один из аргументов обращается в бесконечность, функция распределения равна нулю, т.е.

.

4. Если один из аргументов обращается в бесконечность, функция распределения становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:

;

,

где и – функции распределения случайных величин X и Y, т.е.

.

5. Если оба аргумента равны + ¥, то функция распределения равна единице:

.

6. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному аргументу

;

.

7. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник вычисляется по формуле:

(3.3)

где стороны прямоугольника параллельны координатным осям.